nếu m= 0 => 0^2 = 0

nếu m = 1 => 1^2 = 1

nếu m = 2,3,4,5,6,... tất cả số khác thì m^2  >m

a: Ta có: \(AM=\frac12AB\)

=>\(S_{AMC}=\frac12\times S_{ABC}\)

Ta có: \(AN=\frac12\times AC\)

=>\(S_{AMN}=\frac12\times S_{AMC}=\frac12\times\frac12\times S_{ABC}=\frac14\times S_{ABC}\)

b:

ta có: \(AM=\frac12\times AB\)

=>M là trung điểm của AB

=>\(BM=MA=\frac12\times BA\)

=>\(S_{BMC}=\frac12\times S_{ABC}\) (1)

Ta có: \(AN=\frac12\times AC\)

=>N là trung điểm của AC

=>\(CN=NA=\frac12\times CA\)

=>\(S_{BNC}=S_{BNA}=\frac12\times S_{CAB}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(S_{BMC}=S_{BNC}\)

Vì P nằm giữa B và C

nên \(\frac{S_{BMP}}{S_{BMC}}=\frac{BP}{BC}\)

Vì P nằm giữa B và C nên \(\frac{S_{CNP}}{S_{CNB}}=\frac{CP}{CB}\)

mà \(S_{CNB}=S_{CMB}\)

nên \(\frac{S_{CNP}}{S_{CMB}}=\frac{CP}{CB}\)

\(\frac{S_{BMP}}{S_{BMC}}+\frac{S_{CNP}}{S_{BMC}}=\frac{S_{BMP}+S_{CNP}}{S_{BMC}}=\frac{S_{ABC}-S_{AMPN}}{\frac12\times S_{ABC}}=2-2\times\frac{S_{AMPN}}{S_{ABC}}\)

=>\(S_{BMP}+S_{CNP}=\left(2-2\times\frac{S_{AMPN}}{S_{ABC}}\right)\times S_{BMC}=\left(2-2\times\frac{S_{AMPN}}{S_{ABC}}\right)\times\frac12\times S_{ABC}=\left(2-2\times\frac{S_{AMPN}}{S_{ABC}}\right)\times\frac{S_{ABC}}{2}=S_{ABC}-S_{AMPN}\)

=>\(S_{ABC}-S_{AMPN}>0\)

=>\(S_{ABC}>S_{AMPN}\)

=>\(S_{AMPN}

Xét tam giác CMD, tam giác ANB và hình thang ABCD có đường cao hạ tà A xuống CD = đường cao hạ từ N xuống AB = h

Ta có \(S_{ABCD}=\frac{\left(AB+CD\right)xh}{2}\)

Ta có \(S_{CMD}+S_{ANB}=\frac{CDxh}{2}+\frac{ABxh}{2}=\frac{\left(AB+CD\right)xh}{2}\)

\(\Rightarrow S_{CMD}+S_{ANB}=S_{ABCD}\)

a) Xét ΔBMC ta có: MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác)

b)

*Xét ΔABM ta có: AM + BM > AB (1)

*Xét ΔACM ta có: AM + CM > AC (2)

*Xét ΔBMC ta có: BM + CM > BC (3)

Từ (1); (2); (3)

=> AM + BM + AM + CM + BM + CM > AB + AC + BC

=> 2. AM + 2. BM + 2. CM > AB + AC + BC

=> 2. (AM + BM + CM) > AB + AC + BC

Hay: 2. (MA + MB + MC) > AB + BC + CA

c)Gọi I là giao điểm của BM và AC.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔIMC ta có: MC<MI+IC (1)

Cộng MB vào hai vế (1) ta được: MC+MB<MI+IC+MB

⇒MC+MB<MI+MB+IC

⇒MC+MB<IB+IC (2)

d)Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔIBA ta có: IB<IA+AB (3)

Cộng IC vào hai vế (3) ta được: IB+IC<IA+AB+IC

⇒ IB+IC<IA+IC+AB

⇒IB+IC<AC+AB (4)

e)Từ (2) và (4) suy ra MB+MC<AB+AC

f)Áp dụng bđt tam giác, ta có:

AB+AI > BI = MB+MI, CI + MI > MC

=> AB + AI + CI + MI > MB + MI + MC

Mà AI + CI = AC

=> AB + AC > MB + MC [1]

Áp dụng bđt tam giác, ta cũng có:

BA + BC > MA + MC [2],

CA + CB > MA + MB [3]

Từ [1][2][3] => 2 (AB+AC+CA) > MA + MB + MC

=> MA + MB + MC < AB + AC + BC (đpcm)

a) Xét ΔBMC ta có: MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác)

b)

*Xét ΔABM ta có: AM + BM > AB (1)

*Xét ΔACM ta có: AM + CM > AC (2)

*Xét ΔBMC ta có: BM + CM > BC (3)

Từ (1); (2); (3)

=> AM + BM + AM + CM + BM + CM > AB + AC + BC

=> 2. AM + 2. BM + 2. CM > AB + AC + BC

=> 2. (AM + BM + CM) > AB + AC + BC

Hay: 2. (MA + MB + MC) > AB + BC + CA

c)Gọi I là giao điểm của BM và AC.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔIMC ta có: MC<MI+IC (1)

Cộng MB vào hai vế (1) ta được: MC+MB<MI+IC+MB

⇒MC+MB<MI+MB+IC

⇒MC+MB<IB+IC (2)

d)Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔIBA ta có: IB<IA+AB (3)

Cộng IC vào hai vế (3) ta được: IB+IC<IA+AB+IC

⇒ IB+IC<IA+IC+AB

⇒IB+IC<AC+AB (4)

e)Từ (2) và (4) suy ra MB+MC<AB+AC

f)Áp dụng bđt tam giác, ta có:

AB+AI > BI = MB+MI, CI + MI > MC

=> AB + AI + CI + MI > MB + MI + MC

Mà AI + CI = AC

=> AB + AC > MB + MC [1]

Áp dụng bđt tam giác, ta cũng có:

BA + BC > MA + MC [2],

CA + CB > MA + MB [3]

Từ [1][2][3] => 2 (AB+AC+CA) > MA + MB + MC

=> MA + MB + MC < AB + AC + BC (đpcm)