a: Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE⊥CF tại E

Xét tứ giác ABEF có \(\hat{FAB}+\hat{FEB}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABEF là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{AFB}=\hat{AEB}\)

a: Xét tứ giác OHDC có

góc OHD+góc OCD=180 độ

=>OHDC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔOIA vuông tạiI và ΔOHD vuông tại H có

góc IOA chung

=>ΔOIA đồng dạng với ΔOHD

=>OI/OH=OA/OD

=>OI*OD=OH*OA

1: Xét tứ giác OHDC có \(\hat{OHD}+\hat{OCD}=90^0+90^0=180^0\)

nên OHDC là tứ giác nội tiếp

2: Xét (O) có

DB,DC là các tiếp tuyến

Do đó: DB=DC

=>D nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có; OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OD là đường trung trực của BC

=>OD⊥BC tại I và I là trung điểm của BC

Xét ΔOHD vuông tại H và ΔOIA vuông tại I có

góc HOD chung

DO đó: ΔOHD~ΔOIA

=>\(\frac{OH}{OI}=\frac{OD}{OA}\)

=>\(OH\cdot OA=OD\cdot OI\)

3: Xét ΔOBD vuông tại B có BI là đường cao

nên \(OI\cdot OD=OB^2\)

=>\(OH\cdot OA=OB^2=OM^2\)

=>\(\frac{OH}{OM}=\frac{OM}{OA}\)

Xét ΔOHM và ΔOMA có

\(\frac{OH}{OM}=\frac{OM}{OA}\)

góc HOM chung

Do đó: ΔOHM~ΔOMA

=>\(\hat{OHM}=\hat{OMA}\)

=>\(\hat{OMA}=90^0\)

=>AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

a: góc KOA+góc BOA=90 độ

góc KAO+góc COA=90 độ

mà góc BOA=góc COA

nên góc KOA=góc KAO

=>ΔKAO cân tại K

b: Xét ΔOBA vuông tại B có sin BAO=OB/OA=1/2

nên góc BAO=30 độ

=>góc BOA=60 độ

Xét ΔOBI có OB=OI và góc BOI=60 độ

nên ΔOBI đều

=>OI=OB=1/2OA=R

=>I là trung điểm của OA

ΔKAO cân tại K

mà KI là trung tuyến

nên KI vuông góc với OI

=>KI là tiếp tuyến của (O)

a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBAC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔBCD có

O,H lần lượt là trung điểm của BD,BC

=>OH là đường trung bình của ΔBCD

=>CD=2OH

a: Xét tứ giác OMAN có

\(\widehat{OMA}+\widehat{ONA}=90^0+90^0=180^0\)

=>OMAN là tứ giác nội tiếp

=>O,M,A,N cùng thuộc một đường tròn

b: ΔOBN cân tại O

mà OI là đường phân giác

nên OI\(\perp\)BN và OI là đường trung trực của BN

Xét ΔOBI và ΔONI có

OB=ON

\(\widehat{BOI}=\widehat{NOI}\)

OI chung

Do đó: ΔOBI=ΔONI

=>\(\widehat{OBI}=\widehat{ONI}=90^0\)

=>IB là tiếp tuyến của (O)

c: Xét (O) có

AM,AN là tiếp tuyến

=>AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN

d: AO là đường trung trực của MN

=>AO cắt MN tại trung điểm của MN

=>K là trung điểm của MN