\(p=1+2+2^2+\cdots+2^{2n-1}\)

=>\(2p=2+2^2+2^3+\cdots+2^{2n}\)

=>\(2p-p=2+2^2+2^3+\cdots+2^{2n}-1-2-2^2-\cdots-2^{2n-1}\)

=>\(p=2^{2n}-1=4^{n}-1\)

TH1: n=0

=>\(p=4^0-1=1-1=0\) (loại)

TH2: n=1

\(p=4^1-1=4-1=3\) là số nguyên tố

=>Nhận

TH3: n>1

=>\(p=4^{n}-1=\left(4-1\right)\left(4^{n-1}+4^{n-2}+\cdots+1\right)\)

=>p là tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1

=>p là hợp số

=>Loại

Vậy: n=1

a.\(n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=\left(n^2+2\right)^2-\left(2n\right)^2=\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2-2n+2\right)\)

nguyên tố nên thừa số nhỏ hơn là \(n^2-2n+2=1\Leftrightarrow\left(n-1\right)^2=0\Leftrightarrow n=1\)thỏa mãn đề bài

b. ta có :\(n^{1994}+n^{1993}+1-\left(n^2+n+1\right)=\left(n^{1992}-1\right)\left(n^2+n\right)\)

mà \(1992⋮3\Rightarrow n^{1992}-1⋮n^3-1⋮n^2+n+1\)

nên \(n^{1994}+n^{1993}+1⋮n^2+n+1\)mà nó là số nguyên tố nên

\(n^2+n+1=1\Leftrightarrow n=0\) ( Do n là số tự nhiên nên n= -1 loại bỏ đi )

Tìm tất cả các số tự nhiên n để :

a/ n^2 +12n là số nguyên tố

b/ 3^n +6 là số nguyên tố

\(P=n^4+4\) là số nguyên tố

mà \(n^4\) là số nguyên tố khi \(n=1\) và \(4\) là hợp số

\(\Rightarrow n\in\left\{1;3;5;7;...2k+1\right\}\left(k\in N\right)\)

số đó là 1