Xem lại cái đề thử đúng chưa nhé

\(U\left(n\right)=n^3-n^2-7n+1\)

U(0)=1;U(2)==-9;U(3)=-1;U(4)=21

Đặt n=(p+4) {xét luôn dương đỡ loạn)

\(U\left(p\right)=p^3+11p^2+40p+21\) (*)Với P thuộc N => U(P) luôn dương 

\(U\left(p\right)=p^3+2p^2+p+\left(9p^2+39p+21\right)\)(**)

\(U\left(p\right)=p\left(p+1\right)^2+\left(9p^2+39p+21\right)\)(***)

với p=3 U(3)=27+11.9+40.3+21=89 nguyên tố (nhận)

với p> 3 p=3k hiển nhiên (**) U(p) không nguyên tố

với p=3k+2=> (p+1)=3k+3 chia hết cho 3=> U(p) không nguyên tố

với p=3k+1=>p(p+1)^2 chia 3 dư 1

xét tiếp:

với k =2t+1 hiển nhiên p chẵn => (***) H(p) chia hết cho 2 loại

=> P có dạng 6k+1: với k=1=>P=7 \(\frac{U\left(7\right)}{7}=169=13^2\)Loại

"thôi quá dài -xét tiếp có lẽ => U(p) hợp số nhưng mỏi lắm:

Tạm chấp nhận p=3; n=7  (c/m hoàn chỉnh hoặc tìm ra con nào lớn hơn 89 dành cho @Ailibaba)

a: Đặt \(A=n^4+4\)

\(=n^4+4n^2+4-4n^2\)

\(=\left(n^2+2\right)^2-\left(2n\right)^2=\left(n^2-2n+2\right)\left(n^2+2n+2\right)\)

Vì \(n^2+2n+2\ge2>0\forall n\in N\)

nên để A là số nguyên tố thì \(n^2-2n+2=1\) và \(n^2+2n+2\) là số nguyên tố

=>\(n^2-2n+1=0\) và \(n^2+2n+2\) là số nguyên tố

=>\(\left(n-1\right)^2=0\) và \(n^2+2n+2\) là số nguyên tố

=>\(n-1=0\) và \(n^2+2n+2\) là số nguyên tố

=>n=1 và \(1^2+2\cdot1+2\) là số nguyên tố

=>n=1 và 5 là số nguyên tố

=>Nhận