a) Tứ giác ACDE là hình vuông (gt).

\(\Rightarrow\) \(\widehat{DAE}=\widehat{DAC}\) (Tính chất hình vuông).

Xét tứ giác AMCB:

\(A;M;C;B\in\left(O\right)\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác AMCB nội tiếp (O).

\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MCB}=\widehat{DAE}.\\\widehat{MBC}=\widehat{DAC}.\end{matrix}\right.\)

Mà \(\widehat{DAE}=\widehat{DAC}\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{DAC}=\widehat{MCB}=\widehat{MBC}.\)

Xét (O):

\(M\in\left(O\right)\left(gt\right).\)

BC là đường kính (gt).

\(\Rightarrow\widehat{BMC}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét \(\Delta BMC:\)

\(\widehat{MCB}=\widehat{MBC}\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\text{​​}\Delta BMC\) cân tại M.

Mà \(\widehat{BMC}=90^o\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\text{​​}\Delta BMC\) vuông cân tại M.

b) Tứ giác ACDE là hình vuông (gt).

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AED}=\widehat{EDC}=\widehat{DCA}=\widehat{CAE}=90^o\) (Tính chất hình vuông).

Xét tứ giác FDCM:

\(\widehat{FMC}+\widehat{FDC}=90^o+90^o=180^o.\)

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau.

\(\Rightarrow\) Tứ giác FDCM nội tiếp đường tròn.

\(\Rightarrow\widehat{FCM}=\widehat{FDM}.\)

Mà \(\widehat{FDM}+\widehat{EAD}=90^o\) (2 góc phụ nhau).

\(\Rightarrow\widehat{FCM}+\widehat{EAD}=90^o.\)

Lại có \(\widehat{EAD}=\widehat{MCB}\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{FCM}+\widehat{MCB}=90^o.\\ \Rightarrow\widehat{FCB}=90^o.\)

Xét tứ giác BEFC:

\(\widehat{FCB}+\widehat{FEB}=90^o+90^o=180^o.\)

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau.

\(\Rightarrow\) Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn.

c) Xét (O): 

BC là đường kính (gt).

\(FC\perp BC\left(\widehat{FCB}=90^o\right).\)

\(\Rightarrow\) FC là là tiếp tuyền của đường tròn (O).

a: Xét(O) có

CM,CA là tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc AOM(1)
Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

CD=CM+MD

=>CD=AC+BD

c: AC*BD=CM*MD=OM^2=R^2 ko đổi

d: CM=CA

OM=OA

=>OC là trung trực của AM

mà H nằm trên trung trực của AM

nên O,H,C thẳng hàng

tạm thời mình làm a trước nhá

nối d với O ta có OD=OB=OA=R 

=>tam giác AOD vuông

=>AD VUÔNG GÓC VỚI BM

a) Ta có : \(\hat{A}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O), đường kính BC).

\(\hat{E}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I), đường kính AH).

\(\hat{F}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I), đường kính AH).

Suy ra, AHEF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết) (điều phải chứng minh).

b) Ta có : \(\hat{HAC}+\hat{C}=90^o\) (hai góc phụ nhau) và \(\hat{ABC}+\hat{C}=90^o\) (hai góc phụ nhau)

\(\Rightarrow\hat{HAC}=\hat{ABC}\) (điều phải chứng minh).

Mặt khác : \(\hat{AEF}=\hat{AHF}\) (hai góc nội tiếp đường tròn (I) cùng chắn cung AF).

Và : \(\left\{{}\begin{matrix}\hat{AHF}+\hat{HAC}=90^o\\\hat{C}+\hat{HAC}=90^o\end{matrix}\right.\Rightarrow\hat{AHF}=\hat{C}\). Suy ra : \(\hat{AEF}=\hat{C}\).

Lại có : \(\hat{AEF}+\hat{BEF}=180^o\) (hai góc kề bù) \(\Rightarrow\hat{C}+\hat{BEF}=180^o\).

Mà trong tứ giác BEFC, hai góc trên lại đối nhau. Do đó, tứ giác BEFC nội tiếp được một đường tròn (điều phải chứng minh).