Cho x,y,z lá ba số thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=2012\) .Tìm GTNN của biểu thức M=\(2xy-yz-zx\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
16 tháng 8
Ta có $xy+yz+zx=xyz$
$\Leftrightarrow\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=1.$
Đặt $a=\dfrac1x,\quad b=\dfrac1y,\quad c=\dfrac1z.$
Khi đó $a+b+c=1.$
Ta có $H=\dfrac{c}{1+9a^2}+\dfrac{a}{1+9b^2}+\dfrac{b}{1+9c^2}.$
Với $t>0$, ta có $\dfrac1{1+9t^2}\ge1-\dfrac32t$ vì $\dfrac1{1+9t^2}-\left(1-\dfrac32t\right)$
$=\dfrac{\frac32t(3t-1)^2}{1+9t^2}\ge0.$
Do đó $H\ge c\left(1-\dfrac32a\right)+a\left(1-\dfrac32b\right)+b\left(1-\dfrac32c\right)$
$=a+b+c-\dfrac32(ab+bc+ca)$
$=1-\dfrac32(ab+bc+ca).$
Mặt khác, $(a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow ab+bc+ca\le\dfrac13.$
Suy ra $H\ge1-\dfrac32\cdot\dfrac13$$=\dfrac12.$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac13$
$\Leftrightarrow x=y=z=3.$
Vậy $H_{\min}=\dfrac12.$
PB
0
30 tháng 12 2021
\(P=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}\ge\dfrac{4}{\dfrac{\left(y+x+z\right)^2}{4}}=4\)
\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)