Chứng minh các mệnh đề sau
\(a,n^3+2n⋮3\) \(\forall n\in N\) *
\(b,13^n-1⋮6\forall n\in N\)*
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
17 tháng 3
a: TH1: n=1
\(VT=n^2=1;VP=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}=\frac{1\cdot\left(1+1\right)\left(2\cdot1+1\right)}{6}=1\)
=>VT=VP
=>Mệnh đề đúng
Giả sử mệnh đề đúng với n=k
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
\(1^2+2^2+\ldots+n^2+\left(n+1\right)^2\)
\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}+\left(n+1\right)^2\)
\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)^2}{6}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\left\lbrack n\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)\right\rbrack}{6}=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+7n+6\right)}{6}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+3n+4n+6\right)}{6}=\frac{\left(n+1\right)\left(2n+3\right)\left(n+2\right)}{6}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+1+1\right)\left\lbrack2\cdot\left(n+1\right)+1\right\rbrack}{6}\)
=>Mệnh đề cũng đúng với n=k+1
=>Mệnh đề đúng với mọi n
b: TH1: n=1
\(VT=1\left(1+1\right)=1\cdot2=2;VP=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}=\frac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{3}=\frac{1\cdot2\cdot3}{3}=2\)
=>VT=VP
=>Mệnh đề đúng
Giả sử mệnh đề đúng với n=k
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
\(1\cdot2+2\cdot3+\cdots+n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}\)
=>Mệnh đề đúng với n=k+1
=>Mệnh đề đúng với mọi n
CY
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 12 2021
Lời giải:
$7.2^{2n-2}\equiv 2.2^{2n-2}\equiv 2^{2n-1}\pmod 5$
$\Rightarrow 7.2^{2n-2}+3^{2n-1}\equiv 2^{2n-1}+3^{2n-1}\pmod 5$
Mà $2^{2n-1}+3^{3n-1}\vdots (2+3=5)$ (do $2n-1$ lẻ)
$\Rightarrow 7.2^{2n-2}+3^{2n-1}\vdots 5$ (đpcm)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
18 tháng 12 2021
a: \(VT=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
16 tháng 3
a:
Gọi mệnh đề phải chứng minh là (1)
Khi n=1 thì ta có:
\(VT=\frac{1}{1\cdot2}=\frac12\) ; \(VP=\frac{1}{1+1}=\frac12\)
=>VT=VP
=>Đúng
Giả sử (1) đúng với n=k
Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n=k+1
\(S_{k+1}=S_{k}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\)
\(=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k^2+2k+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\)
\(=\frac{\left(k+1\right)^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k+1}{k+2}\) , đúng
=>(1) luôn đúng
19 tháng 12 2021
\(a,n=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{1}{2}\left(đúng\right)\\ G\text{/}s:n=k\Leftrightarrow\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\\ \text{Với }n=k+1\\ \text{Cần cm: }\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k+1}{k+2}\\ \text{Ta có }VT=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k^2+2k+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k+1}{k+2}=VP\)
Vậy với \(n=k+1\) thì mệnh đề cũng đúng
Vậy theo pp quy nạp ta đc đpcm
a, Với n = 1 ta có 3 ⋮ 3.
Giả sử n = k ≥ 1 , ta có : k3 + 2k ⋮ 3 ( GT qui nạp).
Ta đi chứng minh : n = k + 1 cũng đúng:
(k+1)^3 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2
= (k^3+2k) + 3(k^2+k+1)
Ta có : + (k^3+2k) ⋮ 3 ( theo gt trên)
+ 3(k^2+k+1) hiển nhiên chia hết cho 3
Vậy mệnh đề luôn chia hết cho 3.
b, Với n = 1 ta có 12 ⋮ 6.
Giả sử n = k ≥ 1 , ta có: 13k -1 ⋮ 6
Ta đi chứng minh : n = k+1 cũng đúng:
=> 13k.13 - 1 = 13(13k - 1) + 12.
Có: - 13(13k - 1) ⋮ 6 ( theo gt)
- 12⋮6 ( hiển nhiên)
> Vậy mệnh đề luôn đúng.