Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 4^n+3+17*2^2n=9^n+1+7*3^2n
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
0
9 tháng 3 2017
Ta có
\(\frac{4^{n+3}+17.2^{2n}}{9^{n+1}+7.3^{2n}}=\frac{2^{2n+6}+17.2^{2n}}{3^{2n+2}+7.3^{2n}}=\frac{2^{2n}.\left(2^6+17\right)}{3^{2n}.\left(3^2+7\right)}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2n}.\frac{81}{16}=1\)
\(\Rightarrow\left(\frac{2}{3}\right)^{2n}.\frac{3^4}{2^4}=1\Rightarrow\left(\frac{2}{3}\right)^{2n}=\left(\frac{2}{3}\right)^4\Rightarrow2n=4\Rightarrow n=2\)
BL
1
NT
7 tháng 8 2018
Hãy tích cho tui đi
vì câu này dễ mặc dù tui ko biết làm
Yên tâm khi bạn tích cho tui
Tui sẽ ko tích lại bạn đâu
THANKS
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
31 tháng 8
Ta có: $9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$
$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$
Xét modulo $3$:
$n^2(n+1)^2+2n\equiv0\pmod3$
Thử $n\equiv0,1,2\pmod3$ thì suy ra:
$n\equiv0$ hoặc $1\pmod3$.
Bây giờ xét modulo $9$.
Với $m\ge2$:
$9^m-3^m\equiv0\pmod9$ nên:
$n^4+2n^3+n^2+2n\equiv0\pmod9$.
Ta thử $n$ theo modulo $9$, suy ra:
$n\equiv0,1,3,6,7\pmod9$.
Để tìm nghiệm, xét $m=1$:
$9-3=6$
$n^4+2n^3+n^2+2n=6$
$n^2(n+1)^2+2n=6$
Thử $n=1$:
$1+2+1+2=6$.
Vậy $(m,n)=(1,1)$.
Với $m\ge2$, ta có:
$3^{2m}-3^m=n^2(n+1)^2+2n$
$<n^2(n+1)^2+2n+1$
$=(n(n+1)+1)^2$.
Suy ra:
$3^{2m}<\left(n(n+1)+1\right)^2$
$\Rightarrow 3^m<n(n+1)+1$.
Mặt khác:
$n^2(n+1)^2<3^{2m}$
$\Rightarrow n(n+1)<3^m$.
Do đó:
$n(n+1)<3^m<n(n+1)+1$,
điều này không thể xảy ra vì $n(n+1)$ và $3^m$ đều là số nguyên.
Vậy chỉ có: $(m,n)=(1,1)$.