\(b,n^4-10n^2+9=n^4-n^2-9n^2+9=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\\ =\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Vì \(n\in Z\) và n lẻ nên \(n=2k+1\left(k\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\\ =2k.\left(2k+2\right).\left(2k-2\right).\left(2k+4\right)\\ =16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

Vì \(k,k+1,k-1,k+2\) là 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1.2.3.4=24\)

Do đó \(16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)⋮24.16=384\)

\(c,\forall n=1\Leftrightarrow10+18-28=0⋮27\\ \text{G/s }n=k\Leftrightarrow\left(10^k+18k-28\right)⋮27\\ \Leftrightarrow10^k+18k-28=27m\left(m\in N\right)\\ \Leftrightarrow10^k=27m-18k+28\\ \forall n=k+1\Leftrightarrow10^{k+1}+18\left(k+1\right)-28\\ =10.10^k+18k-10\\ =10\left(27m-18k+28\right)+18k-10=270m-162k+270⋮27\)

Theo PP quy nạp ta đc đpcm

a: Đặt \(A=n^5-n\)

Vì 5 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có: \(n^5-n\) ⋮5(1)

\(A=n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

Vì n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên (n-1)n(n+1)⋮3!=6

=>A⋮6

mà A⋮5

và ƯCLN(5;6)=1

nên A⋮6*5

=>A⋮30

b:

n là số lẻ

=>n=2k+1

Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)

\(=n^4-n^2-9n^2+9\)

\(=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)

=(n-1)(n+1)(n-3)(n+3)

=(2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1-3)(2k+1+3)

=2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)

=16k(k+1)(k+2)(k-1)

Vì k-1;k;k+1;k+2 là bốn số nguyên liên tiếp

nên k(k-1)(k+1)(k+2)⋮4!

=>k(k-1)(k+1)(k+2)⋮24

=>16k(k-1)(k+1)(k+2)⋮16*24

=>B⋮384

a) Áp dụng định lí nhỏ Fermat vào biểu thức \(n^5-n\), ta được:

\(n^5-n⋮5\)(vì 5 là số nguyên tố)

Ta có: \(n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)\)

Vì n-1 và n là hai số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n⋮2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)

Vì n-1; n và n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3\)

mà \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)(cmt)

và ƯCLN(2;3)=1

nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\cdot3\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮6\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)⋮6\)

hay \(n^5-n⋮6\)

mà \(n^5-n⋮5\)(cmt)

và ƯCLN(6;5)=1

nên \(n^5-n⋮6\cdot5\)

hay \(n^5-n⋮30\)(đpcm)

a,

n⁵ -n=n(n⁴ -1)=n(n²  +1)(n+1)(n-1)

vi n,n+1,n-1 la 3 so tu nhien lien tiep nen h cau chung chia het cho 3 va 2

mat khac (2;3)=1 nen S= n(n+1)(n-1)(n² +1)chia het cho 6

xet n=5k  

ma(5;6)=1nen Schia het cho 30

tuong tu voi n=5k+1 thi n-1 chia het cho 5

voi n=5k+2 thi n² +1 chia het cho 5

voi n=5k+3 thi n² +1 chia het cho 5

voi n=5k+4 thi n+1 chia het cho 5

vay voi moi n nguyen thi n⁵ -n chia het cho 30

a: n lẻ nên n=2k+1

\(A=n^3+3n^2-n-3\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)=\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=2k\cdot2\left(k+1\right)\cdot2\left(k+2\right)=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k;k+1;k+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên k(k+1)(k+2)⋮3!=6

=>A=8k(k+1)(k+2)⋮8*6

=>A⋮48

c: n lẻ nên n=2k+1

\(C=n^4-10n^2+9\)

\(=n^4-n^2-9n^2+9\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

=(2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1-3)(2k+1+3)

\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)=16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k-1;k;k+1;k+2 là bốn số nguyên liên tiếp

nên \(\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) ⋮4!=24

=>C=16k(k+1)(k-1)(k+2)⋮16*24

=>C⋮384