Chứng minh rằng:
a) ( n^5 - n) chia hết cho 30
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
K
1
Những câu hỏi liên quan
K
1
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
22 tháng 3
Đặt \(A=n^5-n\)
Vì 5 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có: \(n^5-n\) ⋮5(1)
\(A=n^5-n\)
\(=n\left(n^4-1\right)\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
Vì n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp
nên (n-1)n(n+1)⋮3!=6
=>A⋮6
mà A⋮5
và ƯCLN(5;6)=1
nên A⋮6*5
=>A⋮30
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
22 tháng 3
a: Đặt \(A=n^5-n\)
Vì 5 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có: \(n^5-n\) ⋮5(1)
\(A=n^5-n\)
\(=n\left(n^4-1\right)\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
Vì n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp
nên (n-1)n(n+1)⋮3!=6
=>A⋮6
mà A⋮5
và ƯCLN(5;6)=1
nên A⋮6*5
=>A⋮30
b:
n là số lẻ
=>n=2k+1
Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)
\(=n^4-n^2-9n^2+9\)
\(=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)
\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)
=(n-1)(n+1)(n-3)(n+3)
=(2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1-3)(2k+1+3)
=2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)
=16k(k+1)(k+2)(k-1)
Vì k-1;k;k+1;k+2 là bốn số nguyên liên tiếp
nên k(k-1)(k+1)(k+2)⋮4!
=>k(k-1)(k+1)(k+2)⋮24
=>16k(k-1)(k+1)(k+2)⋮16*24
=>B⋮384
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
4 tháng 10 2021
Bài 5:
b: Ta có: \(n+6⋮n+2\)
\(\Leftrightarrow n+2\in\left\{2;4\right\}\)
hay \(n\in\left\{0;2\right\}\)
c: Ta có: \(3n+1⋮n-2\)
\(\Leftrightarrow n-2\in\left\{-1;1;7\right\}\)
hay \(n\in\left\{1;3;9\right\}\)
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
29 tháng 12 2023
A = n3 + n2 + 3
n ⋮ 3⇒ n2 ⋮ 3
⇒ n2 ⋮ 32 (Tính chất của một số chính phương)
⇒ n2 ⋮ 9
⇒ n2.n ⋮ 9
⇒n2.n + n2 ⋮ 9; mà 3 không chia hết cho 9
⇒ n2.n + n2 + 3 không chia hết cho 9
NV
21 tháng 9 2021
a) Ta có: 10^21 + 5=100...00(21 c/s 0) + 5=100....05(20 c/s 0)
-Để 100....05(20 c/s 0) chia hết cho 3 thì: 1+0+0+...+0+5 (20 c/s 0)=6 - chia hết cho 3. (1)
-mà 100....05(20 c/s 0) có c/s tận cùng là 5 => 100....05(20 c/s 0) chia hết cho 5 => 10^21 + 5 chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) => 10^21 + 5 chia hết cho 3 và 5
b)Ta có: 10^n + 8=100...00(n c/s 0) + 8=100....08(n-1 c/s 0)
-Để 100....08(n-1 c/s 0) chia hết cho 9 thì: 1+0+0+...+0+8 (n-1 c/s 0)=9 - chia hết cho 9. (1)
-mà 100....08(n-1 c/s 0) có c/s tận cùng là 8 => 100....08(n-1 c/s 0) chia hết cho 2 => 10^n + 8 chia hết cho 2 (2)
Từ (1) và (2) =>10^n + 8 chia hết cho 2 và 9 (n thuộc N*)
Lời giải:
$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Vì $n(n-1)(n+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)(n+1)\vdots 3$
Vì $n(n-1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)\vdots 2$
$\Rightarrow n^5-n\vdots 2,3$
Mà $(2,3)=1$ nên $n^5-n\vdots 6(*)$
Mặt khác:
Ta biết rằng 1 scp chia 5 có thể có dư là $0,1,4$
$\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5, \forall n$ nguyên $(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow n^5-n\vdots (5.6=30)$