Lời giải:
$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Vì $n(n-1)(n+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)(n+1)\vdots 3$
Vì $n(n-1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)\vdots 2$

$\Rightarrow n^5-n\vdots 2,3$
Mà $(2,3)=1$ nên $n^5-n\vdots 6(*)$

Mặt khác:
Ta biết rằng 1 scp chia 5 có thể có dư là $0,1,4$
$\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5, \forall n$ nguyên $(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow n^5-n\vdots (5.6=30)$

a: Đặt \(A=n^5-n\)

Vì 5 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có: \(n^5-n\) ⋮5(1)

\(A=n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

Vì n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên (n-1)n(n+1)⋮3!=6

=>A⋮6

mà A⋮5

và ƯCLN(5;6)=1

nên A⋮6*5

=>A⋮30

b:

n là số lẻ

=>n=2k+1

Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)

\(=n^4-n^2-9n^2+9\)

\(=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)

=(n-1)(n+1)(n-3)(n+3)

=(2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1-3)(2k+1+3)

=2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)

=16k(k+1)(k+2)(k-1)

Vì k-1;k;k+1;k+2 là bốn số nguyên liên tiếp

nên k(k-1)(k+1)(k+2)⋮4!

=>k(k-1)(k+1)(k+2)⋮24

=>16k(k-1)(k+1)(k+2)⋮16*24

=>B⋮384

Bài 5: 

b: Ta có: \(n+6⋮n+2\)

\(\Leftrightarrow n+2\in\left\{2;4\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;2\right\}\)

c: Ta có: \(3n+1⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2\in\left\{-1;1;7\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;3;9\right\}\)

A = n³ + n² + 3

   n ⋮ 3⇒ n² ⋮ 3

⇒ n² ⋮ 3² (Tính chất của một số chính phương)

⇒ n² ⋮ 9 

 ⇒  n².n ⋮ 9

⇒n².n + n² ⋮ 9; mà  3 không chia hết cho 9 

⇒ n².n + n² + 3 không chia hết cho 9

a) Ta có: 10^21 + 5=100...00(21 c/s 0) + 5=100....05(20 c/s 0)

-Để 100....05(20 c/s 0) chia hết cho 3 thì: 1+0+0+...+0+5 (20 c/s 0)=6 - chia hết cho 3.  (1)

-mà 100....05(20 c/s 0) có c/s tận cùng là 5 => 100....05(20 c/s 0) chia hết cho 5 =>  10^21 + 5 chia hết cho 5 (2)

Từ (1) và (2) => 10^21 + 5 chia hết cho 3 và 5

b)Ta có: 10^n + 8=100...00(n c/s 0) + 8=100....08(n-1 c/s 0)

-Để 100....08(n-1 c/s 0) chia hết cho 9 thì: 1+0+0+...+0+8 (n-1 c/s 0)=9 - chia hết cho 9.  (1)

-mà 100....08(n-1 c/s 0) có c/s tận cùng là 8 => 100....08(n-1 c/s 0) chia hết cho 2 =>  10^n + 8 chia hết cho 2 (2)

Từ (1) và (2) =>10^n + 8 chia hết cho 2 và 9 (n thuộc N*)

Tích cho mình nha