a,

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a;a+1;a+2

Khi chia một số cho 3 sẽ xảy ra 1 trong ba trường hợp sau:

a=3k hoạc a=3k+1 hoặc a=3k+2

* Nếu a=3k thì a sẽ chia hết cho 2.                                                                                   (1)

* Nếu a=3k+2 thì a+1=3k+2

                          a    =3k+3

Vì 3k chia hết cho 3

     3 chia hết cho 3

=> 3k+3 chia hết cho 3 hay a+1 chia hết cho 3                                                                                          (2)

* Nếu a=3k+1 thì a+2=3k+1

                          a   =3k+3

Vì 3k chia hết cho 3

     3 chia hết cho 3

=>  3k+3 chia hết cho 3 hay a+2 chia hết cho 3                                                                                         (3)

Từ (1),(2) và (3) =>trong 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3

Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3

1. Với n = 2k

=> n (n + 5) = 2k (2k + 5) chia hết cho 2

Với n = 2k + 1

=> n (n + 5) = (2k +1)(2k + 6)

=> 2k + 6 chia hết cho 2.

Vậy: với mọi n thuộc N thì n(n+5) chia hết cho 2.

2. \(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)

Có: \(n\left(n+1\right)⋮2\)

=> \(n\left(n+1\right)+1⋮̸2\)

Vì n và n + 1 là 2 stn liên tiếp nên tận cùng của tích là 0,2,6.

=> n (n + 1) + 1 tận cùng là 1,3,7

=> n (n+1) +1 không chia hết cho 5.

Thank you very much

Với n=3k ta có 3k(3k+1)(3k+5) chia hết cho 3

Với n=3k+1 ta có (3k+1)(3k+2)(3k+6)=3(3k+1)(3k+2)(k+2) chia hết cho 3

Với n=3k+2 ta có (3k+2)(3k+3)(3k+7)=3(3k+2)(k+1)(3k+7) chia hết cho 3. Từ đó ta có đpcm

a,n(2n-3)-2n(n+1)

=2n²-3n-2n²-2n

=-5n⋮5

b: \(A=\left(a+1\right)\left(a^2+2a\right)=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)

Vì a;a+1;a+2 là ba số liên tiếp

nên \(A⋮3!\)

hay A chia hết cho 6

\(S=\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\left(1-\dfrac{1}{9}\right)+\left(1-\dfrac{1}{16}\right)+...+\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)\\ S=\left(1+1+...+1\right)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)\\ S=n-1-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)< n-1\)

Lại có \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+..+\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n-1\right)}< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow S>n-1-1=n-2\\ \Rightarrow n-2< S< n-1\\ \Rightarrow S\notin N\)

2,

+ n chẵn

=> n(n+5) chẵn 

=> n(n+5) chia hết cho 2

+ n lẻ

Mà 5 lẻ

=> n+5 chẵn => chia hết cho 2

=> n(n+5) chia hết cho 2

KL: n(n+5) chia hết cho 2 vơi mọi n thuộc N

3, 

A = n²+n+1 = n(n+1)+1

a, 

+ Nếu n chẵn

=> n(n+1) chẵn 

=> n(n+1) lẻ => ko chia hết cho 2

+ Nếu n lẻ

Mà 1 lẻ

=> n+1 chẵn

=> n(n+1) chẵn

=> n(n+1)+1 lẻ => ko chia hết cho 2

KL: A không chia hết cho 2 với mọi n thuộc N (Đpcm)

b, + Nếu n chia hết cho 5

=> n(n+1) chia hết cho 5

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 1

+ Nếu n chia 5 dư 1

=> n+1 chia 5 dư 2

=> n(n+1) chia 5 dư 2

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 3

+ Nếu n chia 5 dư 2

=> n+1 chia 5 dư 3

=> n(n+1) chia 5 dư 1

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 2

+ Nếu n chia 5 dư 3

=> n+1 chia 5 dư 4

=> n(n+1) chia 5 dư 2

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 3

+ Nếu n chia 5 dư 4

=> n+1 chia hết cho 5

=> n(n+1) chia hết cho 5

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 1

KL: A không chia hết cho 5 với mọi n thuộc N (Đpcm)

1. + Nếu n chẵn => n(n + 3) chẵn

+ Nếu n lẻ => n + 3 chẵn => n(n + 3) chẵn

Chứng tỏ tích n(n + 3) luôn chẵn với mọi số tự nhiên n

2. a = 9¹¹ + 1

a = 9¹⁰ . 9 + 1

a = (9²)⁵ . 9 + 1

a = (...1)⁵ . 9 + 1

a = (...1) . 9 + 1

a = (...9) + 1

a = (...0) chia hết cho 2 và 5

Chứng tỏ số a = 9¹¹ + 1 chia hết cho cả 2 và 5

1) n(n+3)=n.n+n.3

nếu n là số lẻ thì n.n=số lẻ và n.3 = số lẻ;số lẻ + số lẻ = số chẵn

nếu n là số chẵn thì n.n=số chẵn và n.3 =số chẵn;số chẵn + số chẵn 

9 mũ 1 = 9

9 mũ 2 = 81

9 mũ 3 =729

9 mũ 4 = ...1

9 mũ 5 = ...9

=>9 mũ 11 =...9

...9+1=...0

những số có chữ số tận cùng là 0 sẽ chia hết cho cả 2 và 5

\(A=\left(n+2010^{2011}\right)\left(n+2011\right)\)

=> \(A=\left(n+2010-2010+2010^{2011}\right)\left(n+2011\right)\)

=> \(A=\left[\left(n+2010\right)-\left(2010-2010^{2011}\right)\right]\left(n+2011\right)\)

=> \(A=\left(n+2010\right)\left(n+2011\right)-\left(2010-2010^{2011}\right)\left(n+2011\right)\)

Vì n là số tự nhiên nên (n+2010) và (n+2011) là 2 số tự nhiên  => (n+2010)(n+2011) chia hết cho 2 

( vì tích 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2) 

Mặt khác dễ thấy 2010-2010^11 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 2 

=> \(A=\left(n+2010\right)\left(n+2011\right)-\left(2010-2010^{2011}\right)\left(n+2011\right)⋮2\) ( Với mọi n \(\in\)N )