\(M=\left(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)+\frac{3}{4}\)

\(M=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\) mà \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\)  luôn \(\ge0\)  với mọi \(x\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\)

\(=x^4\left(x^2+x+1\right)+x\left(x^2+x+1\right)+1\)

\(=x\left(x^3+1\right)\left(x^2+x+1\right)+1\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)+1>0\)

\(n,n+1,n+2,n+3\)là bốn số nguyên liên tiếp nên trong đó có \(1\)số chia hết cho \(4\), \(1\)số chia hết cho \(2\)nhưng không chia hết cho \(4\)do đó \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)chia hết cho \(4.2=8\).

a) Ta có : \(Q\left(2\right)=4a+2b+c\)

\(Q\left(-1\right)=a-b+c\)

\(\Rightarrow Q\left(2\right)+Q\left(-1\right)=5a+b+2c=0\)

\(\Rightarrow Q\left(2\right)=-Q\left(-1\right)\)

\(\Rightarrow Q\left(2\right).Q\left(-1\right)\le0\)

b) Vì \(Q\left(x\right)=0\) với mọi $x$

$\to Q(0) = c=0$

$Q(1) = a+b+c=a+b=0$ $(1)$

$Q(-1) = a-b +c = a-b=0$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\to a=b=c=0$

Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà \(\left(d\right)\) luôn đi qua

\(\Leftrightarrow y_0=\left(1+m\right)x_0-2m+4=x_0+mx_0-2m+4\\ \Leftrightarrow m\left(x_0-2\right)+\left(x_0-y_0+4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=2\\2-y_0+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=2\\y_0=6\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(d\right)\) luôn đi qua \(A\left(2;6\right)\) cố định với mọi m

Ta có:  x 2  – 6x + 10 =  x 2  – 2.x.3 + 9 + 1 = x - 3 2  + 1

Vì  x - 3 2  ≥ 0 với mọi x nên  x - 3 2  + 1 > 0 mọi x

Vậy  x 2  – 6x + 10 > 0 với mọi x.(đpcm)

Ta có: 4x –  x 2  – 5 = -( x 2  – 4x + 4) – 1 = - x - 2 2  -1

Vì  x - 2 2  ≥ 0 với mọi x nên – x - 2 2  ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: - x - 2 2  -1 ≤ -1 với mọi x

Vậy 4x –  x 2  – 5 < 0 với mọi x.(đpcm)