\(P=\dfrac{n^3+3n^2+2n}{6}+\dfrac{2n+1}{1-2n}\)

Vì n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2) là tích của 3 số liên tiếp

nên n^3+3n^2+2n chia hết cho 3!=6

=>Để P nguyên thì 2n+1/1-2n nguyên

=>2n+1 chia hết cho 1-2n

=>2n+1 chia hết cho 2n-1

=>2n-1+2 chia hết cho 2n-1

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

=>\(n\in\left\{1;0;\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\right\}\)

`P=n^3-n^2+n-1`

`=n^2(n-1)+(n-1)`

`=(n-1)(n^2+1)`

Vì n là stn thì p là snt khi

`n-1=1=>n=2`

Vậy n=2

Ta có: \(A=n^3-n^2+n-1\)

\(=n^2\left(n-1\right)+\left(n-1\right)=\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)

Để A là số nguyên tố thì có 2 trường hợp

TH1: \(n^2+1=1\) và n-1 là số nguyên tố

=>\(n^2=0\) và n-1 là số nguyên tố

=>n=0 và 0-1 là số nguyên tố

=>LOại

TH2: n-1=1 và \(n^2+1\) là số nguyên tố

=>n=2 và \(2^2+1\) là số nguyên tố

=>n=2 và 5 là số nguyên tố

=>NHận

Ở đây, ta có thực hiện đặt phép chia như câu 1 để tìm số dư và tìm điều kiện giá trị của n để thỏa mãn đề bài. Nhưng bài này ta làm cách biến đội như sau:

Ta có :

Nếu n = 1 suy ra A = 0

Nếu n = 2 suy ra A = 5 là số nguyên tố

Nếu n>2 thì A là tích của hai thừa số mà mỗi thừa số đều lớn hơn hai . Vậy A là hợp số

Vậy để A = n³ – n² + n – 1 là số nguyên tố thì n = 2.