Lời giải:

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên:

$\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}$

$M,N$ là trung điểm của $AB,AC$ mà $AB=AC$ nên $AM=AN$

$\Rightarrow \triangle AMN$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}$

Do đó: $\widehat{ABC}=\widehat{AMN}$

$\Rightarrow MN\parallel BC$

Trên tia đối của tia $NM$ lấy $P$ sao cho $NM=NP$

Dễ chứng minh $\triangle AMN=\triangle CPN$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{CPN}$ $\Rightarrow AM\parallel CP$

$\Rightarrow BM\parallel CP$

$\Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{PCM}$ (so le trong)

Xét tam giác $BMC$ và $PCM$ có:

$MC$ chung

$\widehat{BMC}=\widehat{PCM}$ (cmt)

$\widehat{BCM}=\widehat{PMC}$ (so le trong)

$\Rightarrow \triangle BMC=\triangle PCM$ (g.c.g)

$\Rightarrow BC=PM=2MN\Rightarrow MN=\frac{BC}{2}$

Hình vẽ:

Bài 1 : a) M là trung điểm AB 

                N là trung điểm AC 

         suy ra : MN là Đường trung bình của tam giác ABC 

         suy ra : MN // BC ; MN = BC/2

b) Ta có : MN // BC và M là trung điểm AB 

    Mà AD cắt MN tại I nên từ đó suy ra : I là trung điểm của cạnh AD 

em chỉ giải được bài 1 thôi nên thông cảm ạ

a: Xét ΔABC và ΔADE có

AB=AD
\(\hat{BAC}=\hat{DAE}\) (hai góc đối đỉnh)

AC=AE

Do đó: ΔABC=ΔADE
b: ΔABC=ΔADE

=>\(\hat{ABC}=\hat{ADE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên BC//DE
c: ΔABC=ΔADE

=>BC=DE
mà \(BM=CM=\frac{BC}{2};DN=NE=\frac{DE}{2}\)

nên BM=CM=DN=NE

Xét ΔABM và ΔADN có

AB=AD
\(\hat{ABM}=\hat{ADN}\overline{}\) (hai góc so le trong, BM//DN)

BM=DN

Do đó: ΔABM=ΔADN

=>\(\hat{BAM}=\hat{DAN}\)

mà \(\hat{BAM}+\hat{DAM}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{DAM}+\hat{DAN}=180^0\)

=>M,A,N thẳng hàng

ΔABM=ΔADN

=>AM=AN

=>A là trung điểm của MN

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của bC

D là trung điểm của AB

Do đó: MD là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MD//AC

Xét tứ giác ADMC có MD//AC

nên ADMC là hình thang

a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có 

AB=AC(ΔBAC cân tại A)

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: BH=HC(hai cạnh tương ứng)

a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: \(NM=\dfrac{BC}{2}=3.5\left(cm\right)\)

giúp em với mọi người ơi

a: ΔAHB vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên HM=MA=MB=AB/2

MH=MA

=>M nằm trên đường trung trực của AH(1)

ΔAHC vuông tại H

mà HN là đường trung tuyến

nên HN=NA=NC=AC/2

NH=NA

=>N nằm trên đường trung trực của HA(2)

Từ (1),(2) suy ra MN là đường trung trực của AH

b: MN là đường trung trực của AH

=>MN⊥AH tại S và S là trung điểm của AH

Ta có: NK⊥HC

AH⊥HC

Do đó: NK//AH

Xét ΔAHC có

N là trung điểm của CA

NK//AH

Do đó: K là trung điểm của HC

Xét ΔHAC có

K,S lần lượt là trung điểm của HC,HA

=>KS là đường trung bình của ΔHAC

=>KS//AC

c: MI⊥BC

AH⊥BC

Do đó: MI//AH

Xét ΔABH có

M là trung điểm của BA

MI//AH

Do đó: I là trung điểm của BH

Xét ΔAHB có

I,S lần lượt là trung điểm của HB,HA

=>IS là đường trung bình của ΔAHB

=>IS//AB và IS=AB/2

IH+HK=1/2(HB+HC)=1/2BC

Chu vi tam giác ISK là:

\(C_{SIK}=SI+SK+IK\)

\(=\frac12AB+\frac12AC+\frac12BC=\frac12\left(AB+AC+BC\right)\)

\(=\frac12\cdot C_{ABC}\)

a: Xét tứ giác AMEN có

\(\widehat{AME}=\widehat{ANE}=\widehat{MAN}=90^0\)

nên AMEN là hình chữ nhật

=>AE=MN

b: AMEN là hình chữ nhật

=>AE cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà K là trung điểm của MN

nên K là trung điểm của AE

=>A,K,Ethẳng hàng

c: 

Xét ΔEMB vuông tại M có \(\widehat{EBM}=45^0\)

nên ΔEMB vuông cân tại M

=>ME=MB

AMEN là hình chữ nhật

=>\(C_{AMEN}=2\left(AM+EM\right)\)

=>\(C_{AMEN}=2\left(AM+MB\right)=2\cdot AB\)

d: Kẻ AH vuông góc BC

=>AH<=AE

Để MN nhỏ nhất thì AE nhỏ nhất

=>H trùng với E

Vậy: Khi E là chân đường cao kẻ từ A xuống BC thì MN nhỏ nhất