x,y ở đâu :))?

2^m-2ⁿ=256
2^m-2ⁿ=2⁸
m-n=8

Ta có:

( 2m + n ) . ( m + 2n ) = 2m . m + n . m + 2m . 2n + n . 2n 

= 2m² + mn + 4mn + 2n²

= 2 ( m² + n² ) + 5mn 

Vì m² + n² chia hết cho 5 => 2 ( m²  + n² ) chia hết cho 5 và 5mn chia hết cho 5

=> 2 ( m² + n² ) + 5mn chia hết cho 5

=> (2m + n ) ( m + 2n ) chia hết cho 5

=> Tồn tại ít nhất 1 trong hai số 2m + n hoặc m + 2n chia hết cho 5.

thank bạn 

m và n thuộc N*

Ta có: $9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$

$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$

Xét modulo $3$:

$n^2(n+1)^2+2n\equiv0\pmod3$

Thử $n\equiv0,1,2\pmod3$ thì suy ra:

$n\equiv0$ hoặc $1\pmod3$.

Bây giờ xét modulo $9$.

Với $m\ge2$:

$9^m-3^m\equiv0\pmod9$ nên:

$n^4+2n^3+n^2+2n\equiv0\pmod9$.

Ta thử $n$ theo modulo $9$, suy ra:

$n\equiv0,1,3,6,7\pmod9$.

Để tìm nghiệm, xét $m=1$:

$9-3=6$

$n^4+2n^3+n^2+2n=6$

$n^2(n+1)^2+2n=6$

Thử $n=1$:

$1+2+1+2=6$.

Vậy $(m,n)=(1,1)$.

Với $m\ge2$, ta có:

$3^{2m}-3^m=n^2(n+1)^2+2n$

$<n^2(n+1)^2+2n+1$

$=(n(n+1)+1)^2$.

Suy ra:

$3^{2m}<\left(n(n+1)+1\right)^2$

$\Rightarrow 3^m<n(n+1)+1$.

Mặt khác:

$n^2(n+1)^2<3^{2m}$

$\Rightarrow n(n+1)<3^m$.

Do đó:

$n(n+1)<3^m<n(n+1)+1$,

điều này không thể xảy ra vì $n(n+1)$ và $3^m$ đều là số nguyên.

Vậy chỉ có: $(m,n)=(1,1)$.

\(1\le1+\sqrt{1-x^2}\le2\Rightarrow3\le3^{1+\sqrt{1-x^2}}\le9\)

Đặt \(3^{1+\sqrt{1-x^2}}=t\Rightarrow t\in\left[3;9\right]\)

Phương trình trở thành: \(t^2-\left(m+2\right)t+2m+1=0\) 

\(\Leftrightarrow t^2-2t+1=m\left(t-2\right)\Leftrightarrow m=\dfrac{t^2-2t+1}{t-2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\dfrac{t^2-2t+1}{t-2}\) trên \(\left[3;9\right]\)

\(f'\left(t\right)=\dfrac{t^2-4t+3}{\left(t-2\right)^2}\ge0\) ; \(\forall t\in\left[3;9\right]\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên khoảng đã cho

\(\Rightarrow f\left(3\right)\le f\left(t\right)\le f\left(9\right)\Rightarrow4\le m\le\dfrac{64}{7}\)

Có 6 giá trị nguyên của m 

Cho e hỏi tại sao điều kiện lại nằm trong khoảng [1,2] vậy ạ ?