a,Do p là số nguyên tố >3=>p²=3k+1 =>p²-1 chi hết cho 3

Tương tự, ta được q²-1 chia hết cho 3

Suy ra: p²-q² chia hết cho 3(1)

Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p-1 và p+1 là 2 số chẵn liên tiếp=>(p-1)(p+1) chia hết cho 8<=>p²-1 chia hết cho 8

Do q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q-1 và q+1 là 2 số chẵn liên tiếp=>(q-1)(q+1) chia hết cho 8<=>q²-1 chia hết cho 8

Suy ra :p²-q² chia hết cho 8(2)

Từ (1) và (2) suy ra p^2-q^2 chia hết cho BCNN(8;3)<=> p^2-q^2 chia hết cho 24

Chứng minh:

Vì \(p,q\) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 nên \(p,q\) đều là số lẻ và không chia hết cho 3.

Do \(p,q\) lẻ nên:

- \(p^2\) chia cho 8 dư 1.

- \(q^2\) chia cho 8 dư 1.

Suy ra \(p^2-q^2\) chia hết cho 8.

Mặt khác, vì \(p,q\) không chia hết cho 3 nên:

- \(p^2\) chia cho 3 dư 1.

- \(q^2\) chia cho 3 dư 1.

Suy ra \(p^2-q^2\) chia hết cho 3.

Vì \(8\) và \(3\) là hai số nguyên tố cùng nhau nên \(p^2-q^2\) chia hết cho \(8\cdot3=24\).

Vậy \(p^2-q^2\) chia hết cho 24. (ĐPCM)

Chứng minh:

Vì \(a,\ a+k,\ a+2k\) đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều là số lẻ.

Ta có \(a\) và \(a+k\) đều lẻ nên \(k\) là số chẵn.

Suy ra \(k\) chia hết cho 2.

Mặt khác, xét các số \(a,\ a+k,\ a+2k\) khi chia cho 3:

- Nếu \(k\) chia hết cho 3 thì điều phải chứng minh đúng.

- Nếu \(k\) không chia hết cho 3 thì \(k\) chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2.

Khi đó, trong ba số \(a,\ a+k,\ a+2k\) luôn có một số chia hết cho 3.

Nhưng cả ba số đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên không số nào chia hết cho 3.

Điều này vô lý.

Vậy \(k\) chia hết cho 3.

Mà \(k\) chia hết cho 2 và chia hết cho 3 nên \(k\) chia hết cho 6.

Vậy \(k\) chia hết cho 6. (ĐPCM)

Bài làm:

Ta có: Vì p,q là 2 số nguyên tố lớn hơn 3

=> p,q đều là 2 số lẻ

=> p + q chẵn với mọi số nguyên tố p,q

=> p + q chia hết cho 2

=> đpcm

Cho mk xin lỗi mk nhầm đề xíu p+q chia hết cho 12 chứ ko pk 2 ạ.

Ta có: p>3=>p là số lẻ

Ta có: TH: p=2k+1

p²-1=4k²+4k

=4(k²+k)

=>p²-1 chia hết cho 8

TH: p=3k+1

=>p²-1=9k²+6k

=> chia hết cho 3

TH: p=3k+2

=>p²-1=9k²+12k+3

chia hết cho 3

=> p²-1 CHIA HẾT CHO 3;8

=> p²-1 CHIA HẾT CHO 24 với điều kiện p>3

1)

+)Xét trường hợp p=2 =>p+6= 8 là hợp số (trái với giả thiết)

+) Xét trường hợp p=3 =>p+12=15 là hợp số (trái với giả thiết)

+)Xét trường hợp p>3 =>p có một trong hai dạng :3k+1 ; 3k+2

      Nếu p= 3k+1 =>p+8=3k+8+1=3k+9 chia hết cho 3  

            =>p+8 là hợp số (trái với giả thiết )

Vậy p phải có dạng là  3k+2

Nếu p=3k+2 =>p+4 = 3k+2+4 = 3k+6 =3.(k+2)=>p+4 chia hết cho 3

=>p+4 là hợp số (đpcm)

Có p² - 1 = (p - 1)(p + 1)

Vì p là snt > 3 nên p có dạng 3k + 1 ; 3k + 2 ( k là stn)

*Nếu p = 3k + 1

=> p² - 1 = (3k + 1 - 1)(3k + 1 + 1)

              = 3k( 3k + 2 ) chia hết cho 3

*Nếu p = 3k + 2 

=> p² - 1 = (3k + 2 - 1)( 3k + 2 + 1)

              =( 3k + 1) .(3k + 3)

              = 3 ( k + 1 )( 3k + 1 ) chia hết cho 3 

Vậy .........