TH1: P=2

\(P^2+8=2^2+8=4+8=12\)

=>Loại

TH2: P=3

\(P^2+8=3^2+8=9+8=17\) là số nguyên tố

=>Nhận

TH3: P=3k+1

\(P^2+8=\left(3k+1\right)^2+8\)

\(=9k^2+6k+1+8\)

\(=9k^2+6k+9=3\left(3k^2+2k+3\right)\) ⋮3

=>Loại

TH4: P=3k+2

\(P^2+8=\left(3k+2\right)_{}^2+8\)

\(=9k^2+12k+4+8=9k^2+12k+12\)

\(=3\left(3k^2+4k+4\right)\) ⋮3

=>Loại

Với p = 2 ta co  2^p + p² = 12  không là số nguyên tố

Với p = 2 ta có 2^p + p² = 17 là số nguyên tố

Với p > 3 ta có p² + 2^p = (p² – 1) + (2^p + 1 )

Vì p lẽ và p không chia hết cho 3 nên p² – 1 chia hết cho 3 và 2^p + 1 chia hết cho 3. Do đó  2^p + p²  là hợp số

Vậy với p = 3 thì 2^p + p²  là số nguyên tố.

Với p = 2 ta co  2p + p2 = 12  không là số nguyên tố

Với p = 2 ta có 2p + p2 = 17 là số nguyên tố

Với p > 3 ta có p2 + 2p = (p2 – 1) + (2p + 1 )

Vì p lẻ và p không chia hết cho 3 nên p2 – 1 chia hết cho 3 và 2p + 1 chia hết cho 3. Do đó  2p + p2  là hợp số

Vậy với p = 3 thì 2p + p2  là số nguyên tố

Với p = 2 ta co  2p + p2 = 12  không là số nguyên tố

Với p = 2 ta có 2p + p2 = 17 là số nguyên tố

Với p > 3 ta có p2 + 2p = (p2 – 1) + (2p + 1 )

Vì p lẽ và p không chia hết cho 3 nên p2 – 1 chia hết cho 3 và 2p + 1 chia hết cho 3. Do đó  2p + p2  là hợp số

Vậy với p = 3 thì 2p + p2  là số nguyên tố.

HT

p = 1

nha bạn 

chúc bạn học tốt nha 

 Để ý rằng \(p^2-4=\left(p-2\right)\left(p+2\right)\), hơn nữa \(p-2< p+2\) nên để \(p^2-4\) là số nguyên tố thì \(p-2=1\) và \(p+2\) là số nguyên tố \(\Leftrightarrow p=3\).

 Thử lại, ta thấy rõ rằng \(3^2+4=13\) và \(3^2-4=5\) đều là các số nguyên tố. Vậy, \(p=3\) 

Xét p=2

⇒ \(2^2+2^2=4+4=8\left(L\right)\)

Xét p=3

⇒ \(2^3+3^2=8+9=17\left(TM\right)\)

Xét p>3

⇒ p² + 2^p = (p² – 1) + (2^p + 1 )

Vì p lẻ và p không chia hết cho 3 nên (p²–1)⋮3 và (2^p+1)⋮3.

Do đó:  2^p+p²là hợp số (L)

Vậy với p = 3 thì 2^p + p²  là số nguyên tố.

Gọi số cần tìm là a ( a ∈ N)

Ta có:

a chia 5 dư 1

⇒ a+4 chia hết cho 5

a chia 7 dư 3

⇒ a+4 chia hết cho 7

Mà (5,7) = 1

⇒ a+4 chia hết cho 35

Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất 

⇒a+4 = 35

⇒a=35-4

⇒a=31

Vậy số tự nhiên cần tìm là 31

          1)Gọi số x là số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm, theo đề bài ta có :

x=5a+1 ; x=7b+3

Nên 5a+1=7b+3

5a-7b=2

Ta thấy 5.6-7.4=2

Nên a=6; b=4

Vậy x=31

2) Theo đề bài : p² + 4 và  p² - 4 đều là số nguyên tố

⇒ (p² + 4) và (p² - 4) ⋮ 1 và chính nó

 ⇒ (p² + 4) và (p² - 4) ϵ {1;2;3;5;7;11;13...}

Ta thấy khi (p² + 4) = 13 và (p² - 4) = 5 thì p=3

Vậy p=3

p1=2

p2=3

p3=5

p4=7

p1+p2+p3+p4=2+3+5+7=17 là số nguyên tố

đúng thì tk nha

Với p₁=2 =>p₂=3,p₃=5,p₄=7(do p₁<p₂<p₃<p₄)                (1)

Với p₁>2 suy ra tất cả chúng đều lẻ.Suy ra tổng của chúng là số chẵn lớn hơn 2 nên chia hết cho 2 hay là hợp số

Suy ra chúgn lần lượt là.........(1)

a: \(p^2-2q^2=17\)

=>\(2q^2=p^2-17\)

=>\(q^2=\frac{p^2-17}{2}\)

=>\(q^2\) ⋮2

=>q⋮2

mà q là số nguyên tố

nên q=2

Ta có: \(p^2-2q^2=17\)

=>\(p^2=2q^2+17=2\cdot2^2+17=25=5^2\)

=>p=5(nhận)

b: Đặt \(A=q+q^{p}\)

p là số nguyên tố nên p>1

=>p-1>0

Ta có: \(A=q+q^{p}\)

\(=q\left(q^{p-1}+1\right)\)

Để A là số nguyên tố thì q là số nguyên tố và \(q^{p-1}+1=1\)

=>\(q^{p-1}=0\) và q là số nguyên tố

mà \(q^{p-1}<>0\) \(\forall\) q

nên (q;p)∈∅