a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :

\(x^2+1\geq 2x\\ 4y^2+1\geq 4y\\ 9z^2+1\geq 6z\)

Suy ra \(S\leq 6\)

Dấu = xảy ra khi \(x=1;y=\frac{1}{2}; z=\frac{1}{3}\)

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

cho \(x,y,z\ge0\) thỏa mãn \(x y z=6\). tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(A=x^2 y^2 z^2\) - Hoc24

\(A=x^2+y^2\) hả bạn?

Chọn đáp án D

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^2+y^2\geq 2\sqrt{x^2y^2}=2|xy|\geq 2xy$

$\Rightarrow 3(x^2+y^2)\geq 6xy$

$x^2+9\geq 2\sqrt{9x^2}=2|3x|\geq 6x$

$y^2+9\geq 2\sqrt{9y^2}=2|3y|\geq 6y$

Cộng theo vế các BĐT trên:

$4(x^2+y^2)+18\geq 6(xy+x+y)=90$

$\Rightarrow x^2+y^2=18$

Vậy $A_{\min}=18$ khi $(x,y)=(3,3)$

cái này x,y phải là số thực dương chứ nhỉ

\(xy+x+y=15< =>x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)=16\)

\(< =>\left(x+1\right)\left(y+1\right)=16\)

đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=a\\y+1=b\end{matrix}\right.\)\(=>a.b=16\)

Ta có:

 \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

=> \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\)\(=>\left(a+b\right)^2\ge4ab\)\(< =>\left(x+y+2\right)^2\ge4.16=64\)

\(=>x+y+2\ge\sqrt{64}=>x+y\ge\sqrt{64}-2=6\)

\(=>\left(x+y\right)^2=6^2=36\)

lại có \(\left(x-y\right)^2\ge0=>\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge36\)

\(< =>x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2\ge36\)

\(< =>2\left(x^2+y^2\right)\ge36=>x^2+y^2\ge18\)

dấu"=" xảy ra<=>x=y=3=>Min A=18

\(\dfrac{x^2+y^2}{2}\ge xy\Rightarrow-xy\ge-\dfrac{x^2+y^2}{2}\)

\(\Rightarrow4=x^2+y^2-xy\ge x^2+y^2-\dfrac{x^2+y^2}{2}=\dfrac{x^2+y^2}{2}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\le8\)

\(C_{max}=8\) khi \(x=y=\pm2\)

\(x^2+y^2\ge-2xy\Rightarrow-xy\le\dfrac{x^2+y^2}{2}\)

\(4=x^2+y^2-xy\le x^2+y^2+\dfrac{x^2+y^2}{2}=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{8}{3}\)

\(C_{min}=\dfrac{8}{3}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(-\dfrac{2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right);\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}};-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)\)

Đúng thì like giúp mik nha bạn. Thx bạn

\(x+y+4=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-4-x\\x+y=-4\end{matrix}\right.\)

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=\left(-4\right)^3-3xy.\left(-4\right)=12xy-64\)

\(\Rightarrow P=2\left(12xy-64\right)+3\left(x^2+y^2\right)+10x\)

\(=24xy+3x^2+3y^2+10x-128\)

\(=24x\left(-4-x\right)+3x^2+3\left(-4-x\right)^2+10x-128\)

\(=-18x^2-62x-80=-18\left(x+\dfrac{31}{18}\right)^2-\dfrac{479}{18}\le-\dfrac{479}{18}\)

\(P_{max}=-\dfrac{479}{18}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(-\dfrac{31}{18};-\dfrac{41}{18}\right)\)