Tọa độ giao điểm A,B là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=2x+3\\y=2x+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0\\y=2x+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(x,y\right)\in\left\{\left(3;9\right);\left(-1;1\right)\right\}\)

vậy: A(3;9); B(-1;1)

a: Xét (O) có

DM,AB là các dây

DM//AB

Do đó: sđ cung DA=sđ cung MB

b: ΔOAM cân tại O

=>\(\hat{AOM}=180^0-2\cdot\hat{OAM}\)

mà \(\hat{OAM}=\hat{OBN}\) (hai góc so le trong, AM//BN)

nên \(\hat{AOM}=180^0-2\cdot\hat{OBN}\) (1)

ΔONB cân tại O

=>\(\hat{NOB}=180^0-2\cdot\hat{OBN}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{AOM}=\hat{NOB}\)

mà \(\hat{AOM}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{NOB}+\hat{MOB}=180^0\)

=>N,O,M thẳng hàng

mà OM=ON

nên O là trung điểm của MN

Xét (O) có

ΔDMN nội tiếp

MN là đường kính

Do đó: ΔDMN vuông tại D

=>DM⊥ DN

mà DM//AB

nên DN⊥AB

c: ΔODN cân tại O

mà OE là đường cao

nên E là trung điểm của DN

=>ED=EN

\(a,\Leftrightarrow\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m-2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow m^2-3m+3\ge0\\ \Leftrightarrow\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)

Vậy PT có 2 nghiệm pb với mọi m

\(b,\Leftrightarrow0< x_1< x_2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(m-1\right)>0\\m-2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>2\\ c,\text{Thay }x=2\Leftrightarrow4-4\left(m-1\right)+m-2=0\\ \Leftrightarrow m=2\\ \Leftrightarrow x^2-2x=0\\ \Leftrightarrow x\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\\ d,\text{Viét: }\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\\ x_1^2+x_2^2=8\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8\\ \Leftrightarrow4\left(m-1\right)^2-2\left(m-2\right)=8\\ \Leftrightarrow4m^2-10m=0\\ \Leftrightarrow m\left(2m-5\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

b: Tọa độ của F là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2=-\dfrac{1}{2}x+2\\y=x+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow F\left(0;2\right)\)