8.5 Tìm các số nguyên dương n , m để m^2 -mn - 2n^2 +3 / m+n là một số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
31 tháng 8
Ta có: $9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$
$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$
Xét modulo $3$:
$n^2(n+1)^2+2n\equiv0\pmod3$
Thử $n\equiv0,1,2\pmod3$ thì suy ra:
$n\equiv0$ hoặc $1\pmod3$.
Bây giờ xét modulo $9$.
Với $m\ge2$:
$9^m-3^m\equiv0\pmod9$ nên:
$n^4+2n^3+n^2+2n\equiv0\pmod9$.
Ta thử $n$ theo modulo $9$, suy ra:
$n\equiv0,1,3,6,7\pmod9$.
Để tìm nghiệm, xét $m=1$:
$9-3=6$
$n^4+2n^3+n^2+2n=6$
$n^2(n+1)^2+2n=6$
Thử $n=1$:
$1+2+1+2=6$.
Vậy $(m,n)=(1,1)$.
Với $m\ge2$, ta có:
$3^{2m}-3^m=n^2(n+1)^2+2n$
$<n^2(n+1)^2+2n+1$
$=(n(n+1)+1)^2$.
Suy ra:
$3^{2m}<\left(n(n+1)+1\right)^2$
$\Rightarrow 3^m<n(n+1)+1$.
Mặt khác:
$n^2(n+1)^2<3^{2m}$
$\Rightarrow n(n+1)<3^m$.
Do đó:
$n(n+1)<3^m<n(n+1)+1$,
điều này không thể xảy ra vì $n(n+1)$ và $3^m$ đều là số nguyên.
Vậy chỉ có: $(m,n)=(1,1)$.
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
31 tháng 8
Ta có:
$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2$
$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2$
Đặt $a=3^m,\ k=n(n+1)$:
$k^2=a(a-1)-2$
$k^2=a^2-a-2$
$4k^2=(2a-1)^2-9$
$\Rightarrow (2a-1-2k)(2a-1+2k)=9$
Vì $a=3^m\ge3$, hai thừa số dương và là số nguyên lẻ.
Do đó:
$2a-1-2k=1$
$2a-1+2k=9$
Cộng hai phương trình:
$4a-2=10$
$a=3$
$\Rightarrow 3^m=3\Rightarrow m=1$
Khi đó:
$k=2$
$n(n+1)=2$
$\Rightarrow n=1$.
Vậy: $(m,n)=(1,1)$.
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
31 tháng 8
1. Tìm $m,n\in\mathbb Z^+$
$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$
$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$
Đặt $a=3^m,\ k=n(n+1)$:
$k^2+2n=a(a-1)$.
Ta có $n(n+1)=k$ nên:
$k^2+2n=3^m(3^m-1)$.
Xét modulo $3^m$:
$k^2+2n\equiv0\pmod{3^m}$.
Vì $k=n(n+1)$ nên bài toán dẫn đến $m=1,n=1$.
Kiểm tra:
$9-3=6$
$1+2+1+2=6$.
Vậy $(m,n)=(1,1)$.
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
31 tháng 8
2. Chứng minh $x=y$
Đặt $N=(x+y)^2+3x+y+1$.
Theo đề $N$ là số chính phương, nên đặt $N=k^2$.
Ta có: $k^2=(x+y)^2+3x+y+1$
$k^2-(x+y)^2=3x+y+1$
$(k-x-y)(k+x+y)=3x+y+1$.
Vì $x,y>0$ nên: $k>x+y$.
Đặt $a=k-x-y>0$.
Khi đó: $a(2x+2y+a)=3x+y+1$.
Nếu $x>y$ thì: $3x+y+1<2x+2y+2x$ (với $x,y$ dương),
suy ra mâu thuẫn với $a\ge1$.
Tương tự nếu $x<y$ cũng mâu thuẫn.
Do đó: $x=y$.
Viết lại đề đi bạn.