a: TH1: m=-1

Phương trình sẽ trở thành:

\(\left(-1+1\right)x^2-2\left(-1-1\right)x+\left(-1\right)-2=0\)

=>4x-3=0

=>4x=3

=>x=3/4

=>Loại

TH2: m<>-1

\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\left(m+1\right)\left(m-2\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(m^2-m-2\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1-m^2+m+2\right)=4\left(-m+3\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>4(-m+3)>0

=>-m+3>0

=>-m>-3

=>m<3

=>m<3 và m<>-1

b: Thay x=2 vào phương trình, ta được:

\(\left(m+1\right)\cdot2^2-2\left(m-1\right)\cdot2+m-2=0\)

=>4m+4-4(m-1)+m-2=0

=>5m+2-4m+4=0

=>m+6=0

=>m=-6

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2\left(m-1\right)}{m+1};x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-2}{m+1}\)

=>\(x_2+2=\frac{2\left(-6-1\right)}{-6+1}=\frac{2\cdot\left(-7\right)}{-5}=2\cdot\frac75=\frac{14}{5}\)

=>\(x_2=\frac{14}{5}-2=\frac45\)

c: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac74\)

=>\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac74\)

=>\(\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}:\frac{m-2}{m+1}=\frac74\)

=>\(\frac{2\left(m-1\right)}{m-2}=\frac74\)

=>8(m-1)=7(m-2)

=>8m-8=7m-14

=>8m-7m=-14+8

=>m=-6

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1\)

=>\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=1\)

=>\(\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}:\frac{m-2}{m+1}=1\)

=>\(\frac{2\left(m-1\right)}{m-2}=1\)

=>2m-2=m-2

=>m=0

\(x_1^2+x_2^2=2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2\)

=>\(\frac{4\left(m-1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}-2\cdot\frac{m-2}{m+1}=2\)

=>\(4\left(m-1\right)^2-2\left(m-2\right)\left(m+1\right)=2\left(m+1\right)^2\)

=>\(2\left(m-1\right)^2-\left(m-2\right)\left(m+1\right)=\left(m+1\right)^2\)

=>\(2\left(m^2-2m+1\right)-\left(m^2-m-2\right)=m^2+2m+1\)

=>\(2m^2-4m+2-m^2+m+2=m^2+2m+1\)

=>-3m+4=2m+1

=>-5m=-3

=>m=3/5

d: \(3\left(x_1+x_2\right)=5x_1x_2\)

=>\(3\cdot\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}=5\cdot\frac{\left(m-2\right)}{m+1}\)

=>6(m-1)=5(m-2)

=>6m-6=5m-10

=>m=-4

a, Vì 1 < x₁ < x₂ < 6 nên pt đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt

Tức là \(\hept{\begin{cases}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\left(2m-3\right)^2-4m^2+12m>0\\2m-3>0\\m^2-3m>0\end{cases}}\)

                              \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4m^2-12m+9-4m^2+12m>0\\m>\frac{3}{2}\\m< 0\left(h\right)m>3\end{cases}}\)

                               \(\Leftrightarrow m>3\)

Có \(\Delta=9>0\)

Nên pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1=\frac{2m-3-3}{2}=m-3\)

                                                \(x_2=\frac{2m-3+3}{2}=m\)                        (Do m - 3 < m nên x₁  < x₂ thỏa mãn đề bài)

Vì \(1< x_1< x_2< 6\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m-3>1\\m< 6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow4< m< 6\)(Thỏa mãn)

c, C1_) Có \(x_1^2+x_2^2=\left(m-3\right)^2+m^2\)

                        \(=m^2-6m+9+m^2\)

                         \(=2m^2-6m+9\)

                         \(=2\left(m^2-3m+\frac{9}{4}\right)+\frac{9}{2}\)

                        \(=2\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{2}\ge\frac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\)

C2_) Theo hệ thức Vi-ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-3\\x_1x_2=m^2-3m\end{cases}}\)

Có : \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

                     \(=\left(2m-3\right)^2-2m^2+6m\)

                     \(=4m^2-12m+9-2m^2+6m\)

                     \(=2m^2-6m+9\)

                       \(=2\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{2}\ge\frac{9}{2}\)

Dấu "=" khi \(m=\frac{3}{2}\)

Để hệ vô nghiệm thì \(\frac{m}{4}=\frac{1}{m}<>\frac{m+1}{2}\)

=>\(\begin{cases}m^2=4\\ 2m<>4\left(m+1\right)\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}m\in\left\lbrace2;-2\right\rbrace\\ 4m+4<>2m\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}m\in\left\lbrace2;-2\right\rbrace\\ 2m<>-4\end{cases}\Rightarrow m=2\)

a) Ta có: \(\Delta=\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m-10\right)\)

\(=1+4\left(2m+10\right)\)

\(=8m+41\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì \(8m+41\ge0\)

hay \(m\ge-\dfrac{41}{8}\)

c: Thay m=-2 vào pt, ta được:

\(x^2-2x+1=0\)

hay x=1

f: Thay x=-3 vào pt, ta được:

\(9-3m+m+3=0\)

=>-2m+12=0

hay m=6