x=\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\x=-3\\x=-2\end{matrix}\right.\)

đề là \(\le\) 0 mà bạn 

\(x^2-3x-4\le0\)

=>(x-4)(x+1)<=0

=>-1<=x<=4

\(x^2 - 3\vert{}x\vert{}x - m^2 + 6m \ge 0\) (2)

TH1: x>=0

(2) sẽ trở thành: \(x^2-3\cdot x\cdot{}x-m^2+6m\ge0\)

=>\(-2x^2-m^2+6m\ge0\)

=>\(2x^2\le6m-m^2\)

Để bất phương trình này có nghiệm x>=0 thuộc đoạn [-1; 4] thì vế phải phải lớn hơn hoặc bằng 0

=>\(6m-m^2\ge0\)

=>\(m\left(m-6\right)\le0\)

=>0<=m<=6

=>\(0 \le x \le \sqrt{\frac{6m - m^2}{2}}\)

Để hệ có nghiệm trong trường hợp này, giao của \(S_1=\left\lbrack-1;4\right\rbrack\) và tập nghiệm của bất phương trình thứ hai phải khác rỗng,

=>Cần tồn tại ít nhất một nghiệm \(x \in [0; 4]\) thỏa mãn\(2x^2\le6m-m^2\)

mà điều này luôn đúng khi \(6m - m^2 \ge 0\) (vì khi đó x = 0 luôn thỏa mãn).

Do đó, điều kiện từ trường hợp này là: 0<=m<=6

TH2: x<0

(2) sẽ trở thành: \(x^2-3\cdot\left(-x\right)\cdot{}x-m^2+6m\ge0\)

=>\(4x^2\ge m^2-6m\)

\(4x^2\ge0\forall x\)

=>Nếu \(m^2-6m\le0\) thì bất phương trình luôn đúng với mọi x<0

=>m(m-6)<=0

=>0<=m<=6

\(x^2-5x+4\le0\)

=>(x-1)(x-4)<=0

=>1<=x<=4

\(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\)

\(=x^2-2x-\left(m^2+1\right)x+2\left(m^2+1\right)\)

\(=x\left(x-2\right)-\left(m^2+1\right)\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left\lbrack x-\left(m^2+1\right)\right\rbrack\)

\(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\le0\)

=>\((x - 2)(x - (m^2 + 1)) \le 0\)

TH1: \(m^2+1=2\)

=>(x-2)(x-2)<=0

=>x=2

=>S=[1;4]\(\cap\) {2}={2}

=>Loại

TH2: \(m^2+1>2\)

=>\(m^2>1\)

=>m>1 hoặc m<-1

\((x-2)(x-(m^2+1))\le0\)

=>2<=x<=\(m^2+1\)

=>S=[1;4]\(\cap\) [2;\(m^2+1\) ]

Để đoạn giao nhau có độ dài bằng 1 thì \(\left(m^2+1\right)-2=1\)

=>\(m^2=2\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m=\sqrt2\left(nhận\right)\\ m=-\sqrt2\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

TH3: \(m^2+1<2\)

=>\(m^2<1\)

=>-1<m<0

\((x-2)(x-(m^2+1))\le0\)

=>\(m^2+1\le x\le2\)

Độ dài của tập nghiệm là: \(2 - (m^2 + 1) = 1 - m^2\)

Theo đề, ta có: \(1-m^2=1\iff m^2=0\iff m=0\) (nhận)

\(a,f'\left(x\right)=3x^2-6x\\ f'\left(x\right)\le0\Leftrightarrow3x^2-6x\le0\\ \Leftrightarrow3x\left(x-2\right)\le0\Leftrightarrow0\le x\le2\)

Lời giải:

a. $f'(x)\leq 0$

$\Leftrightarrow 3x^2-6x\leq 0$

$\Leftrightarrow x(x-2)\leq 0$

$\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2$

b.

$f'(x)=x^2-3x+2=0$

$\Leftrightarrow 3x^2-6x=x^2-3x+2=0$

$\Leftrightarrow 3x(x-2)=(x-1)(x-2)=0$

$\Leftrightarrow x-2=0$

$\Leftrightarrow x=2$

c.

$g(x)=f(1-2x)+x^2-x+2022$

$g'(x)=(1-2x)'f(1-2x)'_{1-2x}+2x-1$

$=-2[3(1-2x)^2-6(1-2x)]+2x-1$
$=-24x^2+2x+5$

$g'(x)\geq 0$

$\Leftrightarrow -24x^2+2x+5\geq 0$

$\Leftrightarrow (5-12x)(2x-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{-5}{12}\leq x\leq \frac{1}{2}$

a/

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{x^2+3x}+x^2-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(\frac{x^2+1}{x^2+3x}+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(\frac{2x^2+3x+1}{x^2+3x}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{x\left(x+3\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\left(x+1\right)^2}{x\left(x+3\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -3\\x=-1\\-\frac{1}{2}\le x< 0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

b/

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\left(\frac{-2-2x}{x}\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-2.\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{x}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)^2}{x}\ge0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-2\\x=-1\\0< x\le1\\x\ge2\end{matrix}\right.\)

c/

\(\Leftrightarrow\left(\frac{4\left(x-1\right)-2x}{x\left(x-1\right)}\right)\left(\frac{x^2+1-2x}{x}\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(2x-4\right)\left(x-1\right)^2}{x^2\left(x-1\right)}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)^2}{x^2\left(x-1\right)}\le0\)

\(\Rightarrow1< x\le2\)

Tập nghiệm của BPT là: \(\left[{}\begin{matrix}-3< x\le-1\\0\le x< 1\\x>1\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{2-f\left(x\right)}=f\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)\ge0\\f^2\left(x\right)+f\left(x\right)-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=1\\f\left(x\right)=-2< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow f\left(1\right)=f\left(2\right)=f\left(3\right)=1\)

\(\sqrt{2g\left(x\right)-1}+\sqrt[3]{3g\left(x\right)-2}=2.g\left(x\right)\)

\(VT=1.\sqrt{2g\left(x\right)-1}+1.1\sqrt[3]{3g\left(x\right)-2}\)

\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(1+2g\left(x\right)-1\right)+\dfrac{1}{3}\left(1+1+3g\left(x\right)-2\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\le2g\left(x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(g\left(x\right)=1\)

\(\Rightarrow g\left(0\right)=g\left(3\right)=g\left(4\right)=g\left(5\right)=1\)

Để các căn thức xác định \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)-1\ge0\\g\left(x\right)-1\ge0\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\sqrt{f\left(x\right)-1}+\sqrt{g\left(x\right)-1}+f\left(x\right).g\left(x\right)-f\left(x\right)-g\left(x\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{f\left(x\right)-1}+\sqrt{g\left(x\right)-1}+\left[f\left(x\right)-1\right]\left[g\left(x\right)-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=1\\g\left(x\right)=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy tập nghiệm của pt đã cho có đúng 1 phần tử