a: m<2

=>m-2<0

mx+6<2x+3m

=>mx-2x-3m+6<0

=>x(m-2)-3(m-2)<0

=>(m-2)(x-3)<0

mà m-2<0

nên x-3>0

=>x>3

b: m(2x-1)>=2x+1

=>2xm-m>=2x+1

=>2xm-2x>=m+1

=>x(2m-2)>=m+1

Để tập nghiệm là [1;+∞) thì \(\begin{cases}2m-2>0\\ \frac{m+1}{2m-2}=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2m>2\\ 2m-2=m+1\end{cases}\)

=>m>1 và m=3

=>m=3

c: 2x-m<3(x-1)

=>2x-m<3x-3

=>2x-3x<m-3

=>-x<m-3

=>x>-m+3

Để tập nghiệm là (4;+∞) thì -m+3=4

=>-m=1

=>m=-1

1.

Nếu \(m=0\), \(f\left(x\right)=2x\)

\(\Rightarrow m=0\) không thỏa mãn

Nếu \(x\ne0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-4m^2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{3}\)

2.

\(\dfrac{-x^2+2x-5}{x^2-mx+1}\le0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x-1\right)^2-4}{x^2-mx+1}\le0\forall x\)

\(\Leftrightarrow x^2-mx+1>0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-4< 0\Leftrightarrow-2< m< 2\)

Kết luận: \(-2< m< 2\)

\(f'\left(x\right)=3\left(m-1\right)x^2+4\left(m-1\right)x+m\)

- Với \(m=1\Rightarrow f'\left(x\right)=1>0\) (không thỏa mãn)

- Với \(m\ne1\Rightarrow f'\left(x\right)< 0;\forall x\) khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4\left(m-1\right)^2-3m\left(m-1\right)< 0\\m-1< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1< m< 4\\m< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu

a, m²x - 1 < mx + m

⇔ (m² - m)x < m + 1

Bất phương trình vô nghiệm khi 

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-m=0\\m+1\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

Vậy phương trình có nghiệm với ∀m ∈ R

b, (m² + 9)x + 3 ≥ m - 6mx

⇔ (m² + 6m + 9)x ≥ m + 3

Phương trình có nghiệm đúng với ∀x khi m = -3

c, 8m²x - 4m² ≥ 4m²x + 5mx + 9x - 12

⇔ 4m²x - 5mx - 9x ≥ 4m² - 12

⇔ (4m² - 5m - 9)x ≥ 4m² - 12

Bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x khi m = -1

a: TH1: m=0

=>\(g\left(x\right)=4\cdot0\cdot x^2-4\left(0-1\right)x+0-3=4x-3\)

Với x=1 thì g(x)=4*1-3=1>0

=>g(x) không thể luôn âm với mọi x

=>Loại

TH2: m<>0

\(\Delta=\left\lbrack-4\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot4m\left(m-3\right)\)

\(=16\left(m^2-2m+1\right)-16m\left(m-3\right)=16m^2-32m+16-16m^2+48m\)

=16m+16

Để g(x) luôn âm với mọi x thì Δ<0 và a<0

=>16m+16<0 và 4m<0

=>m<-1 và m<0

=>m<-1

b: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(m+2\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(-2m^2+3m+4\right)\)

\(=4\left(m_{}^2+4m+4\right)+8m^2-12m-16\)

\(=4m^2+16m+16+8m^2-12m-16=12m^2+4m\) =4m(3m+1)

Để f(x)>=0 với mọi x thì Δ<=0 và a>0

=>4m(3m+1)<=0 và 1>0

=>m(3m+1)<=0

=>-1/3<=m<=0

Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)

Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

Có cách nào khác nx ạ?