Ta có:

\(\vec{AN}=\vec{AM}+\vec{MN}\)

\(=\dfrac{2}{3}\vec{AC}+\dfrac{1}{4}\vec{MB}\)

\(=\dfrac{2}{3}\vec{AC}+\dfrac{1}{4}\left(\vec{AB}-\vec{AM}\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\vec{AB}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}\)

\(\vec{AP}=\vec{AC}+\vec{CP}\)

\(=\vec{AC}+\dfrac{1}{k+1}\vec{CB}\)

\(=\vec{AC}+\dfrac{1}{k+1}\left(\vec{AB}-\vec{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{k+1}\vec{AB}+\dfrac{k}{k+1}\vec{AC}\)

A, N, P thẳng hàng khi:

\(\dfrac{\dfrac{k}{k+1}}{\dfrac{1}{k+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{4}}\Leftrightarrow k=2\)

Kết luận: \(k=2\)

Ta có: MB=MC

=>\(S_{EMB}=S_{EMC};S_{NMB}=S_{NMC}\)

=>\(S_{EMB}-S_{NMB}=S_{EMC}-S_{NMC}\)

=>\(S_{ENB}=S_{ENC}\)

TA có: CN=3NA

=>\(S_{ENC}=3\times S_{ENA}\)

=>\(S_{ENB}=3\times S_{ENA}\)

Ta có: \(S_{ENA}+S_{BAN}=S_{ENB}\)

=>\(S_{BAN}=4\times S_{ENA}-S_{ENA}=3\times S_{NEA}=3\times27=81\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

AN+NC=AC

=>AC=3NA+NA=4NA

=>\(S_{ABC}=4\times S_{ABN}=4\times81=324\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Câu 1)

A )Ta có tam giác ABC cân tại A 

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Và AB = AC

Xét hai tam giác vuông BCK và CBH ta có :

BC chung

\(\widehat{KBC}=\widehat{BCH}\)

=>BCK = CBH (cạnh huyền - góc nhọn )

=>BH = CK (đpcm)

B) ta có BCK = CBH

=> \(\widehat{HBC}=\widehat{KCB}\)

=> \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)

=> tam giác OBC cân tại O

=> BO = CO

Xét tam giác ABO và tam giác ACO 

AB = AC

BO = CO (cmt)

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)

=> ABO=ACO (c-g-c)

=> \(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)

=> AO là phân giác góc ABC (đpcm)

C) ta có

AI là phân giác góc ABC 

Mà tam giác ABC cân tại A

=> AI vuông góc với cạnh BC (đpcm)

Có bạn nào biết cách làm k , chỉ mình bài này với

mình cũng trùng bài này nhưng ko pít làm huhu

nhớ tk cho ming nha 

A C B M H N

1, Xét tam giác ABC có :

\(BC^2=AC^2+AB^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=4^2+3^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=25\)

\(\Leftrightarrow BC=5\left(cm\right)\)

2,Ta có :\(\widehat{BMA}+\widehat{MBA}=90^O\)

\(\widehat{BMH}+\widehat{MBH}=90^O\)

MÀ \(\widehat{ABM}=\widehat{HBM}\)

Nên \(\widehat{BMA}=\widehat{BMH}\)

Xét tam giác ABM và tam giác HBM có :

\(\widehat{ABM}=\widehat{HBM}\left(gt\right)\)

\(BMchung\)

\(\widehat{BMA}=\widehat{BMH}\)

\(\Rightarrow\Delta BAM=\Delta BHM\left(c.g.c\right)\)

3,Vì \(\Delta BAM=\Delta BHM\Rightarrow AM=MH\left(1\right)\)

Xét \(\Delta HMC\)có :

\(\widehat{MHC}=90^0\)

Suy ra :MC>MH(2)

Từ (1) và(2):AM<MC

4,Ta có :\(\widehat{AMH}+\widehat{HMC}=180^0\left(1\right)\)

Xét tam giác NMA và tam giác CMH có:

\(HC=NA\)

\(\widehat{NAM}=\widehat{CHM}\)

\(MA=MH\left(\Delta BAM=\Delta BHM\right)\)

\(\Rightarrow\Delta NMA=\Delta CMH\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{NMA}=\widehat{CMH}\)(2)

Từ (1) và(2) : => N,M,H thẳng hàng

a: Qua M, kẻ MK//BN(K∈NC)

\(\frac{BM}{MC}=\frac23\)

=>\(CM=\frac35CB;BM=\frac25CB\)

\(\frac{CN}{NA}=\frac35\)

=>\(CN=\frac38CA;AN=\frac58CA\)

Xét ΔBNC có MK//BN

nên \(\frac{CM}{CB}=\frac{CK}{CN}\)

=>\(\frac{CK}{CN}=\frac35\)

=>\(CK=\frac35\cdot CN=\frac35\cdot\frac38\cdot CA=\frac{9}{40}\cdot CA\)

AN+NK+KC=AC

=>\(NK=AC-AN-CK=AC-\frac58AC-\frac{9}{40}AC=\frac38AC-\frac{9}{40}AC=\frac{15}{40}AC-\frac{9}{40}AC=\frac{6}{40}AC=\frac{3}{20}AC\)

\(AK=AN+NK=\frac58AC+\frac{3}{20}AC=\frac{25}{40}AC+\frac{6}{40}AC=\frac{31}{40}AC\)

=>\(\frac{AN}{AK}=\frac58:\frac{31}{40}=\frac58\cdot\frac{40}{31}=\frac{5\cdot5}{31}=\frac{25}{31}\)

Xét ΔAMK có ON//MK

nên \(\frac{AO}{AM}=\frac{AN}{AK}=\frac{25}{31}\)

Sửa đề: AM/MC=1/3

a: \(\frac{AM}{MC}=\frac13\)

=>MC=3AM

AM+MC=AC

=>AC=3AM+AM=4AM

=>\(AM=\frac14AC;CM=\frac34AC\)

\(\frac{OM}{OB}=\frac23\)

=>\(OM=\frac23OB\)

OM+OB=BM

=>\(BM=\frac23OB+OB=\frac53OB\)

=>\(BO=\frac35BM;MO=\frac25BM\)

Qua N, kẻ NI//BM(I∈CM)

Xét ΔBMC có NI//BM

nên \(\frac{NI}{BM}=\frac{CI}{CM}=\frac{CN}{CB}\) (2)

Xét ΔANI có OM//NI

nên \(\frac{OM}{NI}=\frac{AM}{AI}=\frac{AO}{AN}\) (1)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{NI}{BM}\cdot\frac{OM}{NI}=\frac{CI}{CM}\cdot\frac{AM}{AI}\)

=>\(\frac{CI}{CM}\cdot\frac{AM}{AI}=\frac{OM}{BM}=\frac25\)

=>\(\frac{AM}{MC}\cdot\frac{CI}{AI}=\frac25\)

=>\(\frac{CI}{AI}=\frac25:\frac13=\frac25\cdot3=\frac65\)

=>\(\frac{CI}{CA}=\frac{6}{11}\)

=>CI=6/11CA

AM+MI+CI=AC
=>MI=AC-CI-AM=AC-6/11AC-1/4AC=5/11AC-1/4AC=20/44AC-11/44AC=9/44AC

\(\frac{CI}{IM}=\frac{6}{11}:\frac{9}{44}=\frac{6}{11}\cdot\frac{44}{9}=\frac23\cdot4=\frac83\)

Xét ΔCMB có NI//BM

nên \(\frac{CN}{NB}=\frac{CI}{IM}=\frac83\)

\(\frac{AM}{MI}=\frac14:\frac{9}{44}=\frac14\cdot\frac{44}{9}=\frac{11}{9}\)

Xét ΔANI có OM//NI

nên \(\frac{AO}{ON}=\frac{AM}{MI}=\frac{11}{9}\)