Áp dụng định lý pytago vào tam giác ABC ta có: \(AB^2+AC^2=BC^2=102^2=10404\)

Theo bài ra ta có: \(\frac{AB}{8}=\frac{AC}{15}\Rightarrow\frac{AB^2}{64}=\frac{AC^2}{225}=\frac{AB^2+AC^2}{64+225}=\frac{10404}{289}=36\)

\(\Rightarrow\frac{AB^2}{64}=36\Rightarrow AB^2=2304\Rightarrow AB=48\left(cm\right)\left(AB>0\right)\) 

\(\frac{AC^2}{225}=36\Rightarrow AC^2=8100\Rightarrow AC=90\left(cm\right)\left(AC>0\right)\)

Vậy AB = 48cm, AC = 90cm

a: Đặt \(\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}=k\)

=>AB=3k; AC=4k

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(\left(3k\right)^2+\left(4k\right)^2=100^2\)

=>\(25k^2=100^2\)

=>\(k^2=\frac{100^2}{25}=100\cdot\frac{100}{25}=100\cdot4=400=20^2\)

=>k=20

=>\(AB=3\cdot20=60\left(\operatorname{cm}\right);AC=4\cdot20=80\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Kẻ AH⊥BC tại H

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH=\frac{60^2}{100}=36\left(\operatorname{cm}\right)\)

BH+CH=BC

=>CH=100-36=64(cm)

Bài 1: 

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=15^2-9^2=144\)

hay AC=12(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{81}{15}=5.4\left(cm\right)\\CH=\dfrac{12^2}{15}=\dfrac{144}{15}=9,6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AH^2+HB^2=AB^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=9^2-5.4^2=51,84\)

hay AH=7,2(cm)

Bài 6:

a: ΔOAB cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥AB tại I

ΔOIA vuông tại I

=>\(OI^2+IA^2=OA^2\)

=>\(AI^2=10^2-7^2=100-49=51\)

=>\(AI=\sqrt{51}\left(\operatorname{cm}\right)\)

I là trung điểm của AB

=>\(AB=2\cdot AI=2\sqrt{51}\) (cm)

b: I là trung điểm của AB

=>\(IA=IB=\frac{14}{2}=7\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔOIA vuông tại I

=>\(OI^2+IA^2=OA^2\)

=>\(OI^2=10^2-7^2=100-49=51\)

=>\(OI=\sqrt{51}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Bài 5:

BC=BH+CH=10+42=52(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=10\cdot42=420\)

=>\(AH=\sqrt{420}=2\sqrt{105}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BA^2=10\cdot52=520\)

=>\(BA=2\sqrt{130}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\)

=>\(CA^2=42\cdot52=2^2\cdot13\cdot42=4\cdot546\)

=>\(CA=2\sqrt{546}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Bài 1:

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=15^2-9^2=225-81=144=12^2\)

=>AC=12(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot15=9\cdot12=108\)

=>AH=108/15=7,2(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>BH=9^2/15=5,4(cm)

BH+HC=BC

=>HC=15-5,4=9,6(cm)

a.   gọi I là giao điểm của DE,BC

Góc BDI=90-góc ABC

Mà góc EDA=góc BDI

=>góc EDA=90-góc ABC

góc C=90 -góc BC 

=> góc  EDA=góc C

=> Tam giác AED=tam giác ABC(gcg)

b.Từ a: Tam giác AED=tam giác ABC=> AE=AB

=> Tam giác ABE vuông cân tại A

=>  góc ABE=góc BEA=45

Và góc BAE=90 (gt)

a. Xét tam giác vuông ABC 

Theo định lý Py - ta - go ta có :

AB² + AC² = BC²

=> 3² + AC² = 5²

=> 9 + AC²  = 25

=> AC² = 16

=> AC = 4

Vậy AB < AC < BC

b. Xét tam giác BAM và tam giác BDM ta có :

BM chung

Góc BAM = góc BDM ( = 90 độ )

BA = BD ( gt)

=> tam giác BAM = tam giác BDM ( ch - cgv)

=> MA = MD ( hai cạnh tương ứng )

Xét tam giác AMN và tam giác DMC

góc AMN = góc DMC ( đối đỉnh )

MA = MD ( cmt)

góc MAN= góc MDC ( = 90 độ )

=> Tam giác AMN = tam giác DMC 

=> MN = MC

=> Tam giác MNC cân

Xét EAF và EAC có:

+chung đường cao hạ từ e

+AF = 1/3 AC

=> S EAF= 1/3 S EAC

Xét EAC và ABC có:

+Chung đường cao hạ từ C

+AE=3/4 AB

=>S EAC =3/4 S ABC

=> S EAC= (1/3 x 3/4) S ABC = 1/4 S ABC

Tương tự

S BED =1/8 S ABC

S CDF=1/3 S ABC

=> S DEF= S ABC -S BED -S CDF

= S ABC -1/4 S ABC -1/8 S ABC -1/3 S ABC

= 7/24 S ABC

= 7/24 x 1/2 x AB x AC

= 7/24 x 1/2 x 8 x 12 =14 (cm^2)

Xét EAF và EAC có:

+chung đường cao hạ từ e

+AF = 1/3 AC

=> S EAF= 1/3 S EAC

Xét EAC và ABC có:

+Chung đường cao hạ từ C

+AE=3/4 AB

=>S EAC =3/4 S ABC

=> S EAC= (1/3 x 3/4) S ABC = 1/4 S ABC

Tương tự

S BED =1/8 S ABC

S CDF=1/3 S ABC

=> S DEF= S ABC -S BED -S CDF

= S ABC -1/4 S ABC -1/8 S ABC -1/3 S ABC

= 7/24 S ABC

= 7/24 x 1/2 x AB x AC

= 7/24 x 1/2 x 8 x 12 =14 (cm^2)