\(x(3 - xy - xz) + y + 6z \le 5xz(y + z) \quad (1)\)

=>\(3x - x^2 y - x^2 z + y + 6z \le 5xyz + 5xz^2\)

=>\(3x+y+6z\le x^2y+x^2z+5xyz+5xz^2\)

=>\(3x+y+6z\le x^2(y+z)+5xz(y+z)\)

=>\(3x+y+6z\le x(y+z)(x+5z)\quad(2)\)

P=3x+y+6z

=>P<=x(y+z)(x+5z)

y+6z=P-3x

=>y+z=(P-3x)-5z

(2)=>\(P \le x(P - 3x - 5z)(x + 5z)\)

Theo AM-GM, ta có: \((P - 3x - 5z)(x + 5z) \le \left[ \frac{(P - 3x - 5z) + (x + 5z)}{2} \right]^2 = \left( \frac{P - 2x}{2} \right)^2\)

=>\(P \le x \cdot \left( \frac{P - 2x}{2} \right)^2 = \frac{x(P - 2x)^2}{4}\)

=>\(4P\le x(P^2-4Px+4x^2)\)

=>\(4P\le P^2x-4Px^2+4x^3\)

=>\(P^2x-4Px^2-4P+4x^3\ge0\)

=>\(P^2 - 4P \left(x + \frac{1}{x}\right) + 4x^2 \ge 0 \quad (3)\)

Theo Cosi, ta có: \(x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2\)

=>\(-4P\left(x + \frac{1}{x}\right) \le -4P \cdot 2 = -8P\)

(3)=>\(P^2 - 8P + 4x^2 \ge P^2 - 4P \left(x + \frac{1}{x}\right) + 4x^2 \ge 0\)

Chọn điểm rơi x=1, ta sẽ có phương trình: \(P^2 - 8P + 4 \ge 0\)

=>\(P^2-8P+16\ge12\)

=>\(\left(P-4\right)^2\ge12\)

=>\(P-4\ge2\sqrt3\)

=>\(P\ge4+2\sqrt3\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=\frac{1}{x};P-3x-5z=x+5z\) và y=P-3x-6z

=>x=1; P-4x=10z và y=P-3x-6z

=>x=1; \(10z=(4+2\sqrt{3})-4=2\sqrt{3}\) và y=P-3x-6z

=>x=1; \(z=\frac{\sqrt{3}}{5}\) và y=P-3x-6z

=>\(x=1;y=1+\frac{4\sqrt{3}}{5};z=\frac{\sqrt{3}}{5}\)

\(2=3\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}\le\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)+x+z\)

\(\Rightarrow5x+3y+2z\ge4\)

\(A=5\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\right)+3\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\right)+2\left(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\right)\)

\(A\ge5.2x+3.2y+2.2z=2\left(5x+3y+2z\right)\ge8\)

\(A_{min}=8\) khi \(x=y=z=\dfrac{2}{5}\)

Sửa thành tìm GTLN nhé !

Với x,y,z>0 chia 2 vế của \(xy+yz+xz=xyz\) cho \(xyz\) ta có :

\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\frac{1}{4x+3y+z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)\). Tương tự cho 2 BĐT kia:

\(\frac{1}{x+4y+3z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{3}{z}\right);\frac{1}{3x+y+4z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(M\leΣ\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)=Σ\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=3\)

mk k sửa đc mk viết thiếu đề là A=.....=2(ở trên)

bạn ko bít ak

\(xy+yz+zx=8xyz\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=8\)

\(\Rightarrow\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}=64\)

Ta có: \(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}\)

\(=\left(\dfrac{1}{x}+...+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\left(\dfrac{1}{y}+...+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)+\left(\dfrac{1}{z}+...+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

(sau dấu chấm là bốn số tương tự).

\(\ge^{Cauchy-Schwarz}\dfrac{8^2}{6x+y+z}+\dfrac{8^2}{6y+z+x}+\dfrac{8^2}{6z+x+y}\)

\(\Rightarrow64\ge\dfrac{8^2}{6x+y+z}+\dfrac{8^2}{6y+z+x}+\dfrac{8^2}{6z+x+y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{6x+y+z}+\dfrac{1}{6y+z+x}+\dfrac{1}{6z+x+y}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{8}\)

Vậy \(Max\) của biểu thức đã cho là 1.

Đặt x/-4=k => x=-4k

      y/-7=k => y=-7k

      z/3=k  => z=3k

=> A=8k+7k+15k / -8k+21k-18k

     A=30k / -5k

=> A=-6