\(x^3+y^3-9xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3x^2y-3xy^2-9xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+27-3xy\left(x+y+3\right)=27\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left[\left(x+y\right)^2-3\left(x+y\right)+9\right]-3xy\left(x+y+3\right)-27=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x^2+2xy+y^2-3x-3y+9-3xy\right)-27=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x^2-xy+y^2-3x-3y+9\right)-27=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(2x^2-2xy+2y^2-6x-6y+18\right)-54=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2\right]=54\)

Do x, y > 0 => x + y + 3 > 3

Mà x, y nguyên dương => \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3\in Z^+\\\left(x-y\right)^2+\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2\in Z^+\end{matrix}\right.\)

Và \(\left(x-y\right)^2+\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2⋮2\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=9\\\left(x-y\right)^2+\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=6\\x^2-xy+y^2-3x-3y=-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2-x\left(6-x\right)+\left(6-x\right)^2-3x-3\left(6-x\right)=-6\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\left(tm\right)\Leftrightarrow y=2\left(tm\right)\\x=2\left(tm\right)\Leftrightarrow y=4\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=27\\\left(x-y\right)^2+\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=24\\x^2-xy+y^2-3x-3y=-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2-x\left(24-x\right)+\left(24-x\right)^2-3x-3\left(24-x\right)=-8\)

\(\Leftrightarrow3x^2-72x+512=0\) (vô nghiệm)

KL: Vậy phương trình có tập nghiệm (x;y) = [(2;4);(4;2)]

a: \(B=3+3^2+3^3+...+3^{60}\)

\(=3\left(1+3+3^2+...+3^{59}\right)⋮3\)

=>B là hợp số

b: \(x^3+5^y=133\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^3< 133\\5^y< 133\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< \sqrt[3]{133}\simeq5,1\\y< log_5133\simeq3,03\end{matrix}\right.\)

mà x,y là các số nguyên dương

nên \(\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{1;2;3;4;5\right\}\\y\in\left\{1;2;3\right\}\end{matrix}\right.\)

mà \(x^3+5^y=133\)

nên x=2 và y=3

Đáp án C

G T ⇔ x 2 + y − 3 x + y 2 − 4 y + 4 = 0 y 2 + x − 4 y + x 2 − 3 x + 4 = 0

có nghiệm  ⇔ Δ x ≥ 0 Δ y ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 3 1 ≤ y ≤ 7 3

Và:

x y = 3 x + 4 y − x 2 − y 2 − 4 ⇒ P = 3 x 3 + 18 x 2 + 45 x − 8 ⏟ f x + − 3 y 3 + 3 y 2 + 8 y ⏟ g y

 Xét hàm số f x = 3 x 3 + 18 x 2 + 45 x − 8 trên  0 ; 4 3 ⇒ max 0 ; 4 3 f x = f 4 3 = 820 9

Xét hàm số g x = − 3 y 3 + 3 y 2 + 8 y trên  1 ; 7 3 ⇒ max 1 ; 7 3 g x = f 4 3 = 80 9

Vật P ≤ max 0 ; 4 3 f x + max 1 ; 7 3 g x = 100

Dấu “=” xảy ra khi  x = y = 4 3

Với [x>1x<−1] ta có: x3<x3+2x2+3x+2<(x+1)3⇒x3<y3<(x+1)3 (không xảy ra)
Từ đây suy ra −1≤x≤1
Mà x∈Z⇒x∈{−1;0;1}
∙ Với x=−1⇒y=0
∙ Với x=0⇒y=2√3 (không thỏa mãn)
∙ Với x=1⇒y=2
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên (x;y) là (−1;0) và (1;2) 

• Oral1020, DarkBlood, trandaiduongbg và 1 người khác yêu thích

x=-1,y=0

Ta có: \(\frac{2z-4x}{3}=\frac{3x-2y}{4}=\frac{4y-3z}{2}\)

=>\(\frac{6z-12x}{9}=\frac{12x-8y}{16}=\frac{8y-6z}{4}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{6z-12x}{9}=\frac{12x-8y}{16}=\frac{8y-6z}{4}=\frac{6z-12x+12x-8y+8y-6z}{9+16+4}=0\)

=>6z-12x=0 và 12x-8y=0 và 8y-6z=0

=>12x=8y=6z

=>\(\frac{12x}{24}=\frac{8y}{24}=\frac{6z}{24}\)

=>\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k\)

=>x=2k; y=3k; z=4k(Với k∈N*)

\(200

=>\(200<\left(3k\right)^2+\left(4k\right)^2<450\)

=>\(200<25k^2<450\)

=>\(8

mà k là số nguyên dương

nên k∈{3;4}

TH1: k=3

=>\(\begin{cases}x=2\cdot3=6\\ y=3\cdot3=9\\ z=4\cdot3=12\end{cases}\)

TH2: k=4

=>\(\begin{cases}x=2\cdot4=8\\ y=3\cdot4=12\\ z=4\cdot4=16\end{cases}\)

Câu 4:

5x + 7y = 112

5(x+ y) = 112 - 2y

5(x + y) = 2(56 - y)

\(\begin{cases}x+y=2\\ 56-y=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=2\\ y=56-5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2-y\\ y=51\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2-51\\ y=51\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=-49\\ y=51\end{cases}\)

Vậy (x ; y) = (-49; 51)

1)<=> \(\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+4x+4\right)-7=0\)

=> \(\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=7\)

\(\Rightarrow\left(x+1-y-2\right)\left(x+1+y+2\right)=7\)

\(\left(x-y-1\right)\left(x+y+3\right)=7\)

vì x;y là số nguyên dương=> \(x;y\ge1\Rightarrow x+y+3\ge1+1+3=5\)

=> \(x+y+3=7\Rightarrow x+y=4\)

\(x-y-1=1\Rightarrow x-y=2\)

cộng hai phương trình ta có:

=> \(\left(x+y\right)+\left(x-y\right)=4+2\)

=> \(2x=6\)

=> x=3

=> y=4-3=1

2)<=> \(\left(x^2+xy+2x\right)+\left(2xy+2y^2+4y\right)+\left(x+y+2\right)=17\)

=> \(x\left(x+y+2\right)+2y\left(x+y+2\right)+1\left(x+y+2\right)=17\)

=> \(\left(x+y+2\right)\left(x+2y+1\right)=17\)