a: A(1;3); B(-5;6); C(0;1)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-5-1;6-3\right)=\left(-6;3\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(0-1;1-3\right)=\left(-1;-2\right)\)

Vì \(-\frac{6}{-1}<>\frac{3}{-2}\)

nên A,B,C không thẳng hàng

=>A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\cdot\left(1-5+0\right)=-\frac43\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\left(3+6+1\right)=\frac{10}{3}\end{cases}\)

=>G(-4/3;10/3)

b: A(1;3); B(-5;6); C(0;1); D(x;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-5-1;6-3\right)=\left(-6;3\right)\)

\(\overrightarrow{DC}=\left(0-x;1-y\right)=\left(-x;1-y\right)\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

=>-x=-6 và 1-y=3

=>x=6 và y=-2

=>D(6;-2)

c: B(-5;6); C(0;1)

\(\overrightarrow{BC}=\left(0+5;1-6\right)=\left(5;-5\right)=\left(1;-1\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (1;1)

Phương trình đường thẳng BC là:

1(x-0)+1(y-1)=0

=>x+y-1=0

Vì AH⊥BC tại H

nên AH sẽ đi qua A(1;3) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;-1\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao AH là:

1(x-1)+(-1)(y-3)=0

=>x-1-y+3=0

=>x-y+2=0

=>y=x+2

Tọa độ H là:

\(\begin{cases}y=x+2\\ x+y-1=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+x+2-1=0\\ y=x+2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2x+1=0\\ y=x+2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac12\\ y=-\frac12+2=\frac32\end{cases}\)

=>H(-1/2;3/2)