Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R); các đường cao BE,CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M,N ( M nằm trên cung nhỏ AB)
1) Chứng minh tam giác AMN can
2) Giả sử AH cắt BC tại D. Chứng minh rằng: \(AM^2=AH.AD\)
3) Gọi P là điểm đối xứng với A qua O. Đường thẳng PN cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh rằng AK vuông góc với HN.
Bài 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và P là một điểm di động trên đường tròn ( P khác A) sao cho \(PA\le PB\).Trên tia đối PB lấy điểm Q sao cho PQ=PA, dựng hình vuông APQR. Tia PR cắt đường tròn đã cho ở điểm C ( C khác P)
1) Chứng minh C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQB
2) Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác APB, Chứng minh K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AQB
3) Kẻ đường cao PH của tam giác APB, gọi \(R_1,R_2,R_3\)lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác APB, tam giác APH và tam giác BPH.Tìm vị trí điểm P để tổng \(R_1+R_2+R_3\)đạt giá trị lớn nhất
BÀi 1:
1: Kẻ Ax là tiếp tuyến tại A của (O)
Xét (O) có
\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\) (1)
Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{FEC}+\hat{FBC}=180^0\)
mà \(\hat{FEC}+\hat{AEF}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{AEF}=\hat{ABC}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{xAC}=\hat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên FE//Ax
mà OA⊥ Ax
nên OA⊥EF
ΔOMN cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là phân giác của góc MON
Xét ΔMOA và ΔNOA có
MO=NO
\(\hat{MOA}=\hat{NOA}\)
OA chung
Do đó: ΔMOA=ΔNOA
=>MA=NA
=>ΔAMN cân tại A
2: ΔAMN cân tại A
=>\(\hat{AMN}=\hat{ANM}\)
=>sđ cung AM=sđ cung AN
XétΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC tại D
Xét ΔAFH vuông tại F và ΔADB vuông tại D có
\(\hat{FAH}\) chung
Do đó: ΔAFH~ΔADB
=>\(\frac{AF}{AD}=\frac{AH}{AB}\)
=>\(AF\cdot AB=AH\cdot AD\)
Xét (O) có
\(\hat{AMN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN
\(\hat{ABM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM
Do đó: \(\hat{AMN}=\hat{ABM}\)
XétΔAMF và ΔABM có
\(\hat{AMF}=\hat{ABM}\)
góc MAF chung
Do đó: ΔAMF~ΔABM
=>\(\frac{AM}{AB}=\frac{AF}{AM}\)
=>\(AM^2=AF\cdot AB\)
=>\(AM^2=AH\cdot AD\)