a: y=2mx+1-m

=m(2x-1)+1

Tọa độ điểm cố định mà đường thẳng y=2mx+1-m luôn đi qua là:

\(\begin{cases}2x-1=0\\ y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac12\\ y=1\end{cases}\)

b: Tọa độ điểm cố định mà đường thẳng y=mx-x-3 luôn đi qua là:

\(\begin{cases}x=0\\ y=-x-3=-0-3=-3\end{cases}\)

c: y=(2m+5)x+m+3

=2mx+5x+m+3

=m(2x+1)+5x+3

Tọa độ điểm cố định mà đường thẳng y=m(2x+1)+5x+3 luôn đi qua là:

\(\begin{cases}2x+1=0\\ y=5x+3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac12\\ y=5\cdot\frac{-1}{2}+3=-\frac52+3=\frac12\end{cases}\)

a: y=2mx+1-m

=m(2x-1)+1

Tọa độ điểm cố định mà đường thẳng y=2mx+1-m luôn đi qua là:

\(\begin{cases}2x-1=0\\ y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac12\\ y=1\end{cases}\)

b: Tọa độ điểm cố định mà đường thẳng y=mx-x-3 luôn đi qua là:

\(\begin{cases}x=0\\ y=-x-3=-0-3=-3\end{cases}\)

c: y=(2m+5)x+m+3

=2mx+5x+m+3

=m(2x+1)+5x+3

Tọa độ điểm cố định mà đường thẳng y=m(2x+1)+5x+3 luôn đi qua là:

\(\begin{cases}2x+1=0\\ y=5x+3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac12\\ y=5\cdot\frac{-1}{2}+3=-\frac52+3=\frac12\end{cases}\)

a: Thay x=-2 và y=1 vào y=mx+2m+1, ta được:

\(m\cdot\left(-2\right)+2m+1=1\)

=>2m-2m+1=1

=>1=1(luôn đúng)

Vậy: Đường thẳng y=mx+2m+1 luôn đi qua A(-2;1)

b: Thay x=-1 và y=1 vào y=(m-1)x+m, ta được:

\(\left(-1\right)\left(m-1\right)+m=1\)

=>-m+1+m=1

=>1=1(đúng)

vậy: Đường thẳng y=(m-1)x+m luôn đi qua B(-1;1)

\(a,d//d_1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2=-2\\m\ne3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-4\\ b,d\perp d_2\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\left(m+2\right)=-1\Leftrightarrow m+2=-3\Leftrightarrow m=-5\\ c,d.qua.N\left(1;3\right)\Leftrightarrow x=1;y=3\Leftrightarrow3=m+2+m\\ \Leftrightarrow2m=1\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(d,\) Gọi điểm đó là \(A\left(x_1;y_1\right)\)

\(\Leftrightarrow y_1=\left(m+2\right)x_1+m\\ \Leftrightarrow y_1-mx_1-2x_1-m=0\\ \Leftrightarrow-m\left(x_1+1\right)+y_1-2x_1=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+1=0\\y_1-2x_1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\y_1=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A\left(-1;-2\right)\) luôn đi qua D với mọi m

(1): mx-y=2

=>y=mx-2

(2): (2-m)x+y=m

=>y=-(2-m)x+m=(m-2)x+m

Để \(\hat{BAC}=90^0\) thì AB⊥ AC

=>(1)⊥(2)

=>m(m-2)=-1

=>\(m^2-2m=-1\)

=>\(m^2-2m+1=0\)

=>\(\left(m-1\right)^2=0\)

=>m-1=0

=>m=1

Khi m=1 thi (1): y=x-2; (2): y=(1-2)x+1=-x+1

Tọa độ A là:

\(\begin{cases}x-2=-x+1\\ y=x-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x=3\\ y=x-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1,5\\ y=1,5-2=-0,5\end{cases}\)

Ta có: A(1,5;-0,5); B(0;-2); C(-1;2)

\(AB=\sqrt{\left(0-1,5\right)^2+\left(-2+0,5\right)^2}=\sqrt{1,5^2+1,5^2}=\sqrt{4,5}=\frac{3\sqrt2}{2}\)

\(AC=\sqrt{\left(-1-1,5\right)^2+\left(2+0,5\right)^2}=\sqrt{2,5^2+2,5^2}=\sqrt{12,5}=\sqrt{\frac{25}{2}}=\sqrt{\frac{50}{4}}=\frac{5\sqrt2}{2}\)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot\frac{3\sqrt2}{2}\cdot\frac{5\sqrt2}{2}=\frac{15\cdot2}{2\cdot4}=\frac{15}{4}\)

1:Thay x=1 và y=3 vào (d2), ta được:

\(m-2m+3=3\)

hay m=0

a: d: 2(m-1)x+(m-2)y=2

=>(2m-2)x+(m-2)y=2

=>2mx-2x+my-2y=2

=>m(2x+y)-2x-2y-2=0

Tọa độ điểm cố định mà d luôn đi qua là:

2x+y=0 và -2x-2y-2=0

=>y=-2x và x+y+1=0

=>y=-2x và x-2x+1=0

=>y=-2x và -x+1=0

=>x=1 và y=-2

(d): y=mx-m-1

=m(x-1)-1

Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:

x-1=0 và y=-1

=>x=1 và y=-1

b:

a: 2(m-1)x+(m-2)y=2

=>(2m-2)x+(m-2)y-2=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot\left(2m-2\right)+0\cdot\left(m-2\right)-2\right|}{\sqrt{\left(2m-2\right)^2+\left(m-2\right)^2}}=\frac{2}{\sqrt{4m^2-8m+4+m^2-4m+4}}=\frac{2}{\sqrt{5m^2-12m+8}}\)

Để d(O;(d)) lớn nhất thì \(5m^2-12m+8\) nhỏ nhất

Đặt \(A=5m^2-12m+8\)

\(=5\left(m^2-\frac{12}{5}m+\frac85\right)\)

\(=5\left(m^2-2\cdot m\cdot\frac65+\frac{36}{25}+\frac{4}{25}\right)=5\left(m-\frac65\right)^2+\frac45\ge\frac45\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi \(m-\frac65=0\)

=>\(m=\frac65\)

b: y=mx-m-1

=>mx-y-m-1=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|m\cdot0+\left(-1\right)\cdot0-m-1\right|}{\sqrt{m^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|m+1\right|}{\sqrt{m^2+1}}\)

Để d(O;(d)) lớn nhất thì \(\sqrt{m^2+1}\) nhỏ nhất

=>\(m^2+1\) min

=>m=0