ΔDEC vuông tại D có DK là đường cao

nên CK/KE=CD^2/DE^2

CH/HB=CA^2/AB^2

Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có

góc C chung

=>ΔCDE đồng dạng với ΔCAB

=>CD/CA=DE/AB

=>CD/DE=CA/AB

=>CH/HB=CK/KE

=>HK//EB

Ví dụ

Tam giác BAE có: BE = AB (gt) => Tam giác BAE cân tại B => ^BAE = ^BEA (1) 
Ta có: BA _I_ AC ( Tam giác ABC vuông tại A ) 
EK _I_ AC (gt) 
Nên: BA // EK => ^BAE = ^AEK (2) 
Từ (1)(2) => ^BEA = ^AEK 
Tam giác AHE và tam giác AKE có: 
^H = ^K = 90độ 
^BEA = ^AEK (cmt) 
AE là cạnh huyền chung 
Nên: Tam giác AHE = tam giác AKE( ch-gn) => AH = AK 

a. Ta có tam giác AHB vuông tại H

 => AB là cạnh huyền

 mà AB = BD

=> BD > BH

=> H nằm giữa B và D

b, c,d tớ ko biết vì chưa đủ tầm

a: Xét tứ giác AHKE có

AH//KE

AE//HK

Do đó: AHKE là hình bình hành

Hình bình hành AHKE có \(\hat{AHK}=90^0\)

nên AHKE là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AHKE có AH=HK

nên AHKE là hình vuông

b: AHKE là hình chữ nhật

=>\(\hat{EKH}=90^0\)

=>\(\hat{PKB}=90^0\)

AHKE là hình vuông

=>KA là phân giác của góc EKH

=>\(\hat{AKH}=\hat{AKE}=45^0\)

Xét tứ giác ABKP có \(\hat{BAP}+\hat{BKP}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABKP là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{APB}=\hat{AKB}=45^0\)

Xét ΔAPB vuông tại A có \(\hat{APB}=45^0\)

nen ΔAPB vuông cân tại A

=>AP=AB

c:

APQB là hình bình hành

mà \(\hat{BAP}=90^0\)

nen ABQP là hình chữ nhật

=>AQ=BP

ABQP là hình chữ nhật

=>AQ cắt BP tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của AQ và BP

=>IA=IQ=AQ/2;IB=IP=BP/2

mà AQ=BP

nên IA=IQ=IB=IP=AQ/2=BP/2

ΔPKB vuông tại K

mà KI là đường trung tuyến

nên KI=IP=IB=BP/2

=>KI=IA

=>ΔKIA cân tại I

d: EK=EA

=>E nằm trên đường trung trực của AK(1)

IA=IK

=>I nằm trên đường trung trực của AK(2)

HA=HK

=>H nằm trên đường trung trực của AK(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra E,I,H thẳng hàng