Lời giải:

Tất cả những bài này đều có hướng giải y chang nhau, nên mình hướng dẫn mẫu 1 bài, các bài khác bạn triển khai tương tự

4. \(\left\{\begin{matrix} 2x-y=5\\ -x+y=-2\end{matrix}\right.\)

Từ PT(1) ta có: $y=2x-5$ (biểu diễn $y$ theo $x$). Thay vào PT(2):

$-x+(2x-5)=-2$

$\Leftrightarrow x-5=-2$

$\Leftrightarrow x=3$

Khi đó: $y=2x-5=2.3-5=1$

Vậy $(x,y)=(3,1)$

Tham khảo nha:

Lấy pt (1) từ đi pt (2) vế theo vế ta được:

\(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=2,1\)

\(\Leftrightarrow y^2-x^2=2,1xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2,1xy-y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{10}\left(5x-2y\right)\left(2x+5y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{2y}{5}\\x=-\frac{5y}{2}\end{matrix}\right.\)

Thay vào pt đầu là được

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=5\\\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=9\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u+v=5\\u^3-3uv=9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u^3-3u\left(5-u\right)=9\)

\(\Leftrightarrow u^3+3u^2-15u-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(u-3\right)\left(u^2+6u+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

a.

ĐKXĐ: \(x;y\ge-1;xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-3=\sqrt{xy}\\x+y+2\sqrt{xy+x+y+1}=14\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=u\\xy=v\ge0\end{matrix}\right.\) với \(u^2\ge4v\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u-3=\sqrt{v}\\u+2\sqrt{u+v+1}=14\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v=u^2-6u+9\left(u\ge3\right)\\4\left(u+v+1\right)=\left(14-u\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v=\left(u-3\right)^2\\4u+4\left(u^2-6u+9\right)+4=\left(14-u\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v=\left(u-3\right)^2\\3u^2+8u-156=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v=\left(u-3\right)^2\\\left[{}\begin{matrix}u=6\\u=-\dfrac{26}{3}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=6\\v=9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=6\\xy=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=3\)

b.

ĐKXĐ: \(x;y\ge1\)

Xét \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=3\)

\(\Leftrightarrow x+y-2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\dfrac{11-x-y}{2}\)

Thế vào pt đầu:

\(x+y=5+\dfrac{11-x-y}{2}\)

\(\Leftrightarrow x+y=7\Rightarrow y=7-x\)

Thế xuống pt dưới:

\(\sqrt{x-1}+\sqrt{6-x}=3\)

\(\Leftrightarrow5+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(6-x\right)}=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(6-x\right)=4\)

\(\Leftrightarrow...\)

Điều kiện: \(20-x^2\ge0\Leftrightarrow-2\sqrt{5}\le x\le2\sqrt{5}\)

Với \(xy-10< 0\)thì ta có

\(\left\{\begin{matrix}xy-10=x^2-20\left(1\right)\\xy=5+y^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (1) + (2) ta được

\(x^2+y^2-2xy=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x-y=-\sqrt{5}\\x-y=\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Tới đây thì đơn giản rồi nhé. B làm phần còn lại nhé

Trường hợp còn lại thì tương tự

Lời giải:

Nếu \(x=0\Rightarrow y=0\)

Nếu \(x\neq 0\). Đặt \(y=tx(t>0\) do $x,y$ cùng dấu)

Nhân chéo PT(1) với PT(2) ta thu được:

\(20y^2(x^2-y^2)=3x^2(x^2+y^2)\)

\(\Leftrightarrow 20t^2x^2(x^2-t^2x^2)=3x^2(x^2+t^2x^2)\)

\(\Leftrightarrow x^4[20t^2(1-t^2)-3(1+t^2)]=0\)

\(\Leftrightarrow 20t^2-20t^4-3-3t^2=0\) (do \(x\neq 0\) )

\(\Leftrightarrow 20t^4-17t^2+3=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} t=\sqrt{\frac{3}{5}}\\ t=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Nếu \(t=\sqrt{\frac{3}{5}}\Rightarrow y=\sqrt{\frac{3}{5}}x\). Thay vào PT(1):

\(2\sqrt{\frac{3}{5}}x(x^2-\frac{3}{5}x^2)=3x\)

\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{5\sqrt{15}}}{2}\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{3}{5}}.\frac{\sqrt{5\sqrt{15}}}{2}\) (tương ứng)

Nếu \(t=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{x}{2}\). Thay vào PT(1):

\(2.\frac{1}{2}x(x^2-\frac{1}{4}x^2)=3x\)

\(\Rightarrow x=\pm 2\Rightarrow y=\pm 1\) (tương ứng)

Vậy........

Akai Haruma giup e voi

Ta có: \(\begin{cases} \dfrac{1 - xy}{x(1 + y^2)} = \dfrac{2}{5} & (1) \\ \dfrac{1 - xy}{y(1 + x^2)} = \dfrac{1}{2} & (2) \end{cases}\)

=>\(\begin{cases}5-5xy=2x+2xy^2 & (1^{\prime})\\ 2-2xy=y+x^2y & (2^{\prime})\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}5-5xy=2x+2xy^2 & \\ 1-xy=\frac12\left(y+x^2y\right) & \end{cases}\)

Thay vào (1), ta được: \(\dfrac{\frac{1}{2}y(1 + x^2)}{x(1 + y^2)}=\dfrac{2}{5}\)

=>\(5y(1+x^2)=4x(1+y^2)\)

=>\(5y+5yx^2=4x+4xy^2\)

=>\(5yx^2-4xy^2+5y-4x=0\) (3)

Ta có: \(\begin{cases}5-5xy=2x+2xy^2 & \\ 2-2xy=y+x^2y & \end{cases}\)

=>10-10xy=4x+\(4xy^2\) và 10-10xy=5y+\(5x^2y\)

=>\(5y+5x^2y=4x+4xy^2\)

=>\(4x+4xy^2-5y-5x^2y=0\)

=>\(4xy^2-5yx^2+4x-5y=0\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \((5yx^2 - 4xy^2 + 5y - 4x) - (4xy^2 - 5yx^2 + 4x - 5y) = 0\)

=>\(10yx^2-8xy^2+10y-8x=0\)

=>\(5yx^2-4xy^2+5y-4x=0\)

=>\(5y(x^2+1)=4x(y^2+1)\)

=>\(\dfrac{x^2+1}{x}=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{y^2+1}{y}\)

=>\(x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{4}{5}\left(y+\dfrac{1}{y}\right)\)

Đặt \(u=x+\frac{1}{x};v=y+\frac{1}{y}\)

Ta sẽ có: \(u=\frac45v\)

Ta có: \(\dfrac{1 - xy}{x(1 + y^2)}=\dfrac{2}{5}\)

=>\(\dfrac{\frac{1}{x} - y}{1 + y^2} = \dfrac{2}{5}\)

Khi y=1/2 thì ta sẽ có: \(y+\frac{1}{y}=\frac12+2=\frac52\)

=>\(x+\frac{1}{x}=\frac45\cdot\frac52=2\)

=>\(\frac{x^2+1}{x}=2\)

=>\(x^2+1=2x\)

=>\(x^2-2x+1=0\)

=>\(\left(x-1\right)^2=0\)

=>x-1=0

=>x=1

Thay x=1;y=1/2 vào (1), ta được:

\(\frac{1-1\cdot\frac12}{1\cdot\left(1+\frac14\right)}=\frac25\)

=>\(\left(1-\frac12\right):\frac54=\frac25\)

=>\(\frac12\cdot\frac45=\frac25\)

=>2/5=2/5(đúng)

Thay x=1;y=1/2 vào (2): \(\dfrac{1 - xy}{y(1 + x^2)}=\dfrac{1}{2}\) , ta được:

\(\left(1-1\cdot\frac12\right):\left\lbrack\frac12\cdot\left(1+1^2\right)\right\rbrack=\frac12\)

=>\(\left(1-\frac12\right):\left(\frac12\cdot2\right)=\frac12\)

=>\(\frac12=\frac12\) (đúng)

Vậy: x=1;y=1/2