Ta có M là trung điểm BC và MB = MC = MA (đề bài)

=> AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC và = 1/2 BC

Mà cái này chỉ có trong tam giác vuông

=> tam giác ABC vuông tại A

A B C M

Ta có: \(\hept{\begin{cases}AM=MB=MC\\MB=\frac{1}{2}BC\left(MB+MC=BC;BM=MC\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC\)

Xét \(\Delta ABC\) có:

\(AM=\frac{1}{2}BC\left(cmt\right)\) 

\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại \(A\left(đpcm\right)\)

giải hộ

a: Xét ΔABC có

BD,CE là các đường trung tuyến

BD cắt CE tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(BG=\frac23BD;CG=\frac23CE\)

mà BD=CE

nên GB=GC

Ta có: GB+GD=BD

GC+GE=CE

mà GB=GC và BD=CE

nên GE=GD

Xét ΔEGB và ΔDGC có

GE=GD

\(\hat{EGB}=\hat{DGC}\) (hai góc đối đỉnh)

GB=GC

Do đó: ΔEGB=ΔDGC

=>EB=DC

=>2EB=2DC

=>AB=AC

=>ΔABC cân tại A

AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: GB=GC

=>G nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AG là đường trung trực của BC

=>AG⊥BC

b: Xét ΔMAB có MA+MB>AB

Xét ΔMAC có MA+MC>AC

Xét ΔMBC có MB+MC>BC

Do đó: MA+MB+MA+MC+MB+MC>AB+AC+BC

=>\(2\left(MA+MB+MC\right)>AB+BC+AC\)

=>\(MA+MB+MC>\frac{AB+AC+BC}{2}\)

M là trung điểm của BC 

\(\Rightarrow MA=MB=\dfrac{1}{2}BC\)

Lại có: MA = MB = MC (GT)

\(\Rightarrow MC=\dfrac{1}{2}BC\)

Tam giác ABC có MC là đường trung tuyến và \(MC=\dfrac{1}{2}BC\) 

=> Tam giác ABC vuông tại A

Ta có: M là trung điểm của BC(gt)

nên \(MB=\dfrac{BC}{2}\)

mà MA=MB(gt)

nên \(MA=\dfrac{BC}{2}\)

Xét ΔABC có 

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(M là trung điểm của BC)

\(AM=\dfrac{BC}{2}\)(cmt)

Do đó: ΔABC vuông tại A(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

XétΔABC có

AM là đường trung tuyến

AM=BC/2

Do đó: ΔABC vuông tại A

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

AM=BC/2

Do đó: ΔABC vuông tại A(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

AM=BC/2

Do đó: ΔABC vuông tại A(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

XétΔABC có

AM là đường trung tuyến

AM=BC/2

Do đó: ΔABC vuông tại A