(α) đi qua B và vuông góc với SC
SA⊥(ABC), mp(SAC) đi qua SC và (SAC)⊥(ABC). Giao tuyến của (α) với mặt đáy (ABC) là một đường thẳng đi qua B và vuông góc với hình chiếu của SC lên (ABC) chính là đường thẳng AC.

Trong mặt phẳng (ABC), kẻ BE⊥AC tại E

ΔBAC đều

mà BE là đường cao

nên E là trung điểm của AC

=>(ABC) giao (α)=BE

Trong mp(SAC), kẻ EH⊥SC tại H

mà (α)⊥SC

nên (α) giao (SAC)=EH

Nối B và H, ta được: (SBC) giao (α)=BH

Do đó: Thiết diện của (α) và S.ABC là ΔBHE

ΔBAC đều có BE là đường cao

nên \(BE=BA\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}\)

ΔSAC vuông tại A

=>\(SA^2+AC^2=SC^2\)

=>\(SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt{5}\)

Xét ΔSEC vuông tại E và ΔSAC vuông tại A có

góc SCE chung

Do đó: ΔSEC~ΔSAC
=>\(\frac{EH}{SA}=\frac{CE}{CS}\)

\(\implies EH=SA\cdot\frac{CE}{CS}=2a\cdot\frac{a/2}{a\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}\)

ΔSAB vuông ttại A

=>\(SA^2+AB^2=SB^2\)

=>\(SB^2=a^2+\left(2a\right)^2=5a^2\)

=>\(SB=a\sqrt5\)

Xét ΔCHE vuông tại H và ΔCAS vuông tại A có

góc HCE chung

Do đó: ΔCHE~ΔCAS
=>\(\frac{CH}{CA}=\frac{CE}{CS}\)

=>\(CH=CE\cdot\frac{CA}{CS}=a\cdot\frac{a\sqrt2}{a\sqrt5}=a\cdot\sqrt{\frac25}=\frac{a\sqrt{10}}{5}\)

=>\(SH = SC - CH = a\sqrt{5} - \frac{a\sqrt{5}}{10} = \frac{9a\sqrt{5}}{10}\)

Xét ΔSBC có

\(\cos(\widehat{BSC}) = \frac{SB^2 + SC^2 - BC^2}{2 \cdot SB \cdot SC} = \frac{5a^2 + 5a^2 - a^2}{2 \cdot 5a^2} = \frac{9}{10}\)

\(BH^2 = SB^2 + SH^2 - 2 \cdot SB \cdot SH \cdot \cos(\widehat{BSC})\)

\(=(a\sqrt{5})^2+\left(\frac{9a\sqrt{5}}{10}\right)^2-2\cdot(a\sqrt{5})\cdot\left(\frac{9a\sqrt{5}}{10}\right)\cdot\frac{9}{10}\)

\(=5a^2+\frac{405a^2}{100}-\frac{810a^2}{100}=5a^2-\frac{405a^2}{100}=\frac{95a^2}{100}\)

=>\(BH=\frac{a\sqrt{95}}{10}\)

Xét ΔBEH có \(BE^2+EH^2=BH^2\)

nên ΔBEH vuông tại E

=>\(S_{BEH} = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot EH = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{5} = \frac{a^2\sqrt{15}}{20}\)

Đáp án A

Dễ thấy ∆ABC vuông tại A => S_ABC = 6 

=> V_S.ABC =   1 3 .6.5 = 10

Đáp án A

Đáp án C

Cách 1: Giải bằng hàm số

Đặt CM = x (x > 0)

Dễ tính ra CD =  615 2 - ( 487 - 118 ) 2 = 492

Từ đề bài ta có: f(x) =  x 2 + 118 2 + ( 492 - x ) 2 + 487 2

Quãng đường ngắn nhất người đó có thể đi  

  ⇔ Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên (0;492)

Ta có: f’(x) =  - 2 x 2 x 2 + 118 2 + 2 ( 492 - x ) 2 ( 492 - x ) 2 + 487 2

⇒ f’(x) = 0

⇔ ( 492 - x ) x 2 + 118 2 - x ( 492 - x ) 2 + 487 2 = 0

⇔ ( 492 - x ) 2 ( x 2 + 118 2 ) - x 2 ( ( 492 - x ) 2 + 487 2 ) = 0

⇔ x = 58056 605

Ta có bảng biến thiên

Vậy quãng đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là: 779,8

Cách 2: Giải bằng hình học

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua D

Dễ thấy AM + MB = AM + MB’

⇒ AM + MB ngắn nhất

⇒  AM + MB’ ngắn nhất

Dễ thấy theo bất đẳng thức tam giác: AM + MB’ ≥ AB’

      =>AM + MB’ ngắn nhất ó AM + MB’ = AB’

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, M, B’ thẳng hàng

Đáp án C

V A B C D = 1 3 . 3 4 .1 = 3 12

V D M N P V D A B C = D M D A . D N D B . D P D C = 1 8 ⇒ V D M N P = 3 96

Ta có 

V D M N P V D A B C = D M D A . D N D B . D P D C = 1 2 . 1 2 . 3 4 = 1 8

Do đó 1 8 . 3 12 = 3 96

Đáp án C