Lời giải:

Ta có: $S_{ABC}=\frac{h_a.a}{2}$

$S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ theo công thức Heron.

$\Rightarrow \frac{h_a.a}{2}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\Leftrightarrow \frac{a\sqrt{p(p-a)}}{2}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{2}=\sqrt{(p-b)(p-c)}$

$\Rightarrow \frac{a}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+c-b)(a+b-c)}$

$\Rightarrow a^2=(a+c-b)(a+b-c)$$\Leftrightarrow a^2=a^2-(b-c)^2\Rightarrow (b-c)^2=0$

$\Rightarrow b=c$ hay $ABC$ là tam giác cân.

Bạn đùa tôi à

a: \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}+\frac12\cdot\overrightarrow{AD}\)

\(=\overrightarrow{BA}+\frac12\cdot\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=-\frac34\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=-\frac14\left(3\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{BA}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{-1}{3}\left(3\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\)

=>\(\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{BN}}=\frac{-1}{4}:\frac{-1}{3}=\frac34\)

=>B.M,N thẳng hàng

b: \(\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AM}\)

\(=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{AD}=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{-5}{12}\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac14\left(-\frac53\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac25\cdot\overrightarrow{AC}=-2\left(\frac13\cdot\overrightarrow{AB}-\frac15\cdot\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\frac25\left(\frac{-5}{3}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

Do đó: \(\frac{\overrightarrow{IM}}{\overrightarrow{IJ}}=\frac14:\frac25=\frac58\)

=>I,M,J thẳng hàng

a: ΔBEC vuông tại E

mà EM là đường trung tuyến

nên \(EM=\frac{BC}{2}\left(1\right)\)

ΔDBC vuông tại D

mà DM là đường trung tuyến

nên \(DM=\frac{BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra ME=MD

=>ΔMED cân tại M

b: Ta có; \(EM=DM=\frac{BC}{2}\)

\(MB=MC=\frac{BC}{2}\)

Do đó: EM=DM=MB=MC

MD=MC

=>ΔMDC cân tại M

=>\(\hat{DMC}=180^0-2\cdot\hat{DCM}=180^0-2\cdot\hat{ACB}\)

ME=MB

=>ΔMEB cân tại M

=>\(\hat{EMB}=180^0-2\cdot\hat{MBE}=180^0-2\cdot\hat{ABC}\)

Ta có: \(\hat{EMB}+\hat{EMD}+\hat{DMC}=180^0\)

=>\(\hat{EMD}=180^0-\left(180^0-2\cdot\hat{ABC}\right)-\left(180^0-2\cdot\hat{ACB}\right)\)

\(=180^0-180^0+2\cdot\hat{ABC}-180^0+2\cdot\hat{ACB}=2\cdot\left(\hat{ABC}+\hat{ACB}\right)-180^0\)

\(=2\left(180^0-\hat{BAC}\right)-180^0=180^0-2\cdot\hat{BAC}\)

c: ΔMED đều khi \(\hat{EMD}=60^0\)

=>\(180^0-2\cdot\hat{BAC}=60^0\)

=>\(2\cdot\hat{BAC}=180^0-60^0=120^0\)

=>\(\hat{BAC}=60^0\)

 Gọi N là giao điểm của BM và AC. Do \(\widehat{NAM}=\widehat{NBA}\) nên \(\Delta NAM\) đồng dạng với \(\Delta NBA\), suy ra \(\dfrac{NA}{NB}=\dfrac{NM}{NA}\) \(\Rightarrow NA^2=NB.NM\)  (1)

  Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^o\), lại có \(\widehat{MBA}=\widehat{MCA}\) nên ta có \(\widehat{ABC}-\widehat{MBA}=\widehat{ACB}-\widehat{MCA}\) hay \(\widehat{NBC}=\widehat{NCM}\). Từ đây có\(\Delta NCM\) đồng dạng với tam giác \(\Delta NBC\), suy ra \(\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{NM}{NC}\Rightarrow NC^2=NB.NM\)  (2)

 Từ (1) và (2), suy ra \(NA^2=NC^2\left(=NB.NM\right)\) \(\Rightarrow NA=NC\), suy ra N là trung điểm của đoạn AC \(\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{2}\). Mà \(AC=AB\) nên \(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{1}{2}\) 

  Mặt khác, \(\widehat{BAC}=\widehat{MAN}+\widehat{BAM}=90^o\), đồng thời \(\widehat{MAN}=\widehat{MBA}\) nên \(\widehat{MBA}+\widehat{BAM}=90^o\), do đó \(\Delta ABM\) vuông tại M \(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^o\). Từ đó lại suy ra \(\Delta BAM\) và \(\Delta BNA\) đồng dạng, suy ra \(\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{BA}{BM}\) hay \(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AM}{BM}\). Nhưng do \(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{1}{2}\left(cmt\right)\) nên \(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow BM=2AM\) (đpcm)