Cho (O; B) và điểm A ∈ (O) sao cho OA = 2R. Vẽ tiếp tuyến AB với (O), BH là đường cao của △ABO, BH cắt (O) tại C
a. C/m: AC là tiếp tuyến (O)
b. Từ O vẽ đường thẳng d⊥OB cắt AC tại K. C/m KA = KO
c. OA cắt (O) tại I, Tính IK theo R
d. AI cắt (O) tại D. C/m AI . AD không đổi
a: ΔOBC cân tại O
mà OH là đường cao
nên H là trung điểm của BC và OH là phân giác của góc BOC
Xét ΔOBA và ΔOCA có
OB=OC
\(\hat{BOA}=\hat{COA}\)
OA chung
Do đó: ΔOBA=ΔOCA
=>\(\hat{OBA}=\hat{OCA}\)
=>\(\hat{OCA}=90^0\)
=>AC là tiếp tuyến tại C của (O)
b: Ta có: \(\hat{KOA}+\hat{BOA}=\hat{KOB}=90^0\)
\(\hat{KAO}+\hat{COA}=90^0\) (ΔCOA vuông tại C)
mà \(\hat{BOA}=\hat{COA}\)
nên \(\hat{KOA}=\hat{KAO}\)
=>KA=KO
d: Xét (O) có
\(\hat{ABI}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BI
\(\hat{BDI}\) là góc nội tiếp chắn cung BI
Do đó: \(\hat{ABI}=\hat{BDI}\)
Xét ΔABI và ΔADB có
\(\hat{ABI}=\hat{ADB}\)
góc BAI chung
Do đó: ΔABI~ΔADB
=>\(\frac{AB}{AD}=\frac{AI}{AB}\)
=>\(AI\cdot AD=AB^2\) không đổi