a: Qua A, kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt MN tại I

Xét (O) có

IM,IA là các tiếp tuyến

Do đó: IM=IA và OI là phân giác của góc AOM; IO là phân giác của góc MIA

Xét (O') có

IA,IN là các tiếp tuyến

Do đó: IA=IN; O'I là phân giác của góc AO'N; IO' là phân giác của góc AIN

Ta có: IM=IA

IA=IN

Do đó: IM=IN

=>I là trung điểm của MN

Xét ΔAMN có
AI là đường trung tuyến

\(AI=\frac{MN}{2}\)

Do đó: ΔAMN vuông tại A

=>\(\hat{MAN}=90^0\)

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM⊥BE tại M và \(\hat{EMA}=90^0\)

Xét (O') có

ΔANC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔANC vuông tại N

=>AN⊥EC tại N và \(\hat{ANE}=90^0\)

Xét tứ giác EMAN có \(\hat{EMA}=\hat{ENA}=\hat{MAN}=90^0\)

nên EMAN là hình chữ nhật

=>\(\hat{MEN}=90^0\)

=>\(\hat{BEC}=90^0\)

b: Ta có: EMAN là hình chữ nhật

=>EA cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của MN

nên I là trung điểm của EA

=>E,I,A thẳng hàng

Xét ΔEAB vuông tại A có AM là đường cao

nên \(EM\cdot EB=EA^2\left(1\right)\)

Xét ΔEAC vuông tại A có AN là đường cao

nên \(EN\cdot EC=EA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(EM\cdot EB=EN\cdot EC\)

c: AB=2AO=18(cm)

AC=2AO'=2*4=8(cm)

Xét ΔEBC vuông tại E có EA là đường cao

nên \(EA^2=AB\cdot AC=18\cdot8=144\)

=>EA=12(cm)

EMAN là hình chữ nhật

=>EA=MN

=>MN=12(cm)

a: góc ABO+góc ACO=180 độ

=>ABOC nội tiếp

b: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>OA vuông góc BC tại H

=>AH*AO=AB^2

Xét ΔABE và ΔADB có

góc ABE=góc ADB

góc BAE chung

=>ΔABE đồng dạng với ΔADB

=>AB^2=AE*AD=AH*AO

a: Xét ΔABE và ΔADB co

góc ABE=góc ADB

góc BAE chung

=>ΔABE đồng dạng với ΔADB

=>AB/AD=AE/AB

=>AB^2=AD*AE

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>OA vuông góc BC tại H

=>AH*AO=AB^2=AE*AD

=>AH/AD=AE/AO

=>ΔAHE đồng dạng với ΔADO

=>góc AHE=góc ADO

=>góc OHE+góc ODE=180 độ

=>OHED nội tiếp

b: OHED nội tiếp

=>góc HED+góc HOD=180 độ

BD//AO

=>góc BDO+góc HOD=180 độ

=>góc BDO=góc HED

góc BCD+góc BDC=90 độ

góc BCD=góc BED
=>góc HED+góc BED=90 độ

=>HE vuông góc BF tại E

a: Xét (O') có

ΔAOC nội tiếp

OC là đường kính

Do đó: ΔAOC vuông tại A

=>AC⊥AO tại A

Xét (O) có

OA là bán kính

AC⊥ AO

Do đó: AC là tiếp tuyến tại A của (O)

Xét tứ giác OAO'B có OA=AO'=O'B=BO(=R)

nên OAO'B là hình thoi

=>AB⊥O'O tại H và H là trung điểm chung của AB và O'O

OAO'B là hình thoi

=>OA//BO'

=>OA//BF

=>BF⊥AC

b: Xét tứ giác AHO'E có \(\hat{AHO^{\prime}}+\hat{AEO^{\prime}}=90^0+90^0=180^0\)

nên AHO'E là tứ giác nội tiếp

c: Xét (O') có

ΔBAF nội tiếp

BF là đường kính

Do đó: ΔBAF vuông tại A

=>AB⊥AF tại A

Xét tứ giác AHKG có \(\hat{AHK}=\hat{HAG}=\hat{GKH}=90^0\)

nên AHKG là hình chữ nhật

(O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau

⇒ OO’ = R + r.

O’A ⊥ BP, OB ⊥ BP ⇒ O’A // OB

⇒ ΔPAO’  ΔPBO

⇒ OB = 2.O'A hay R = 2.r

và OP = 2.O’P ⇒ O’P = OO’ = R + r = 3.r

ΔO’AP vuông tại A nên:

O ’ P 2   =   O ’ A 2   +   A P 2

⇔ ( 3 r ) 2 = r 2 + 4 2 ⇔ 8 r 2 = 16 ⇔ r 2 = 2

Diện tích hình tròn (O’; r) là:  S   =   π . r 2   =   2 π   ( c m 2 ) .

(O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau

⇒ OO’ = R + r.

O’A ⊥ BP, OB ⊥ BP ⇒ O’A // OB

⇒ ΔPAO’  ΔPBO

⇒ OB = 2.O'A hay R = 2.r

và OP = 2.O’P ⇒ O’P = OO’ = R + r = 3.r

ΔO’AP vuông tại A nên:  O ' P 2 = O ' A 2 + A P 2

⇔ ( 3 r ) 2 = r 2 + 4 2 ⇔ 8 r 2 = 16 ⇔ r 2 = 2

Diện tích hình tròn (O’; r) là:  S = π · r 2 = 2 π cm 2

Kiến thức áp dụng