Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt CD tại E, BM cắt CO tại Fa, Chứng minh: EM.AM = MF.OAb, Chứng minh: ES = EM = EFc, Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng SB và (O). Chứng minh A, I, F thẳng hàngd, Cho EM = R, tính FA.SM theo...
Đọc tiếp
Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt CD tại E, BM cắt CO tại F
a, Chứng minh: EM.AM = MF.OA
b, Chứng minh: ES = EM = EF
c, Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng SB và (O). Chứng minh A, I, F thẳng hàng
d, Cho EM = R, tính FA.SM theo R
e, Kẻ MHAB. Xác định vị trí điểm M để tam giác MHO có diện tích đạt giá trị lớn nh
a: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>MB⊥ AS tại M
Ta có: \(\hat{EMF}+\hat{OMB}=\hat{EMO}=90^0\)
\(\hat{AMO}+\hat{OMB}=\hat{AMB}=90^0\)
Do đó: \(\hat{EMF}=\hat{OMA}\)
Xét tứ giác AMFO có \(\hat{AMF}+\hat{AOF}=90^0+90^0=180^0\)
nên AMFO là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{MAO}+\hat{MFO}=180^0\)
mà \(\hat{MFO}+\hat{MFC}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{MFC}=\hat{MAO}\)
Xét ΔMFE và ΔMAO có
\(\hat{MFE}=\hat{MAO}\)
\(\hat{EMF}=\hat{AMO}\)
Do đó: ΔMFE~ΔMAO
=>\(\frac{ME}{MO}=\frac{EF}{AO}=\frac{MF}{MA}\)
=>ME*MA=MF*MO
mà MO=OA
nên ME*MA=MF*OA
b: Ta có: \(\frac{ME}{MO}=\frac{EF}{AO}\)
mà MO=AO(=R)
nên ME=EF
=>EM=EF
=>ΔEMF cân tại E
Ta có: \(\hat{EMF}+\hat{EMS}=\hat{SMF}=90^0\)
\(\hat{EFM}+\hat{ESM}=90^0\) (ΔSMF vuông tại M)
mà \(\hat{EMF}=\hat{EFM}\)
nên \(\hat{EMS}=\hat{ESM}\)
=>EM=ES
mà EM=EF
nên EM=ES=EF