a. Năm số hạng đầu của dãy số

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số:

un =√(n+8) (1)

Rõ ràng (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là uk = √(k+8)

⇒ (1) đúng với n = k + 1

⇒ (1) đúng với mọi n ∈ N*.

Dễ dàng nhận ra dãy đã cho là dãy dương.

 \(\Rightarrow u_1u_2...u_{n-1}>0\Rightarrow u_n>1\) ;\(\forall x>1\)

\(\Rightarrow u_1u_2...u_{n-1}>1\)

Ta có:

\(u_{n+1}-u_n=1+u_1u_2...u_n-u_n=1+u_n\left(u_1u_2...u_{n-1}\right)>0\)

\(\Rightarrow u_{n+1}>u_n\Rightarrow\) dãy tăng

Lời giải:

Ta có:

\((\sqrt{n+1}+\sqrt{n})U_n=\frac{2}{2n+1}\)

\(\Rightarrow U_n=\frac{2}{(2n+1)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{2n+1}\)

\(=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(n+1)+n}<\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{2\sqrt{n(n+1)}}\) (áp dụng bđt am-gm thì \((n+1)+n\geq 2\sqrt{n(n+1)}\), dấu bằng không xảy ra vì \(n\neq n+1\))

hay \(U_n< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Do đó:
\(U_1+U_2+...+U_{2010}< \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-...+\frac{1}{\sqrt{2010}}-\frac{1}{\sqrt{2011}}\)

\(\Leftrightarrow U_1+U_2+..+U_{2010}< 1-\frac{1}{\sqrt{2011}}< \frac{1005}{1006}\)

Ta có đpcm.

 Dễ thấy \(u_n>0,\forall n\inℕ^∗\). 

 Ta có \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n^2+2021}{2u_n}-u_n=\dfrac{2021-u_n^2}{2u_n}\)

 Với \(n\ge2\) thì \(u_n=\dfrac{u_{n-1}^2+2021}{2u_{n-1}}\) \(=\dfrac{u_{n-1}}{2}+\dfrac{2021}{2u_{n-1}}\) \(>2\sqrt{\dfrac{u_{n-1}}{2}.\dfrac{2021}{2u_{n-1}}}\) \(=\sqrt{2021}\)

Vậy \(u_n>\sqrt{2021},\forall n\ge2\), suy ra \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2021-u_n^2}{2u_n}< 0,\forall n\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow\) Dãy \(\left(u_n\right)\) là dãy giảm. Mà \(u_n>\sqrt{2021}\)  \(\Rightarrow\left(u_n\right)\) có giới hạn hữu hạn. Đặt \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=L\) \(\Rightarrow L=\dfrac{L^2+2021}{2L}\) \(\Leftrightarrow L=\sqrt{2021}\)

 Vậy \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=\sqrt{2021}\)

Dễ thấy ��>0,∀�∈N∗un​>0,∀n∈N∗. 

 Ta có ��+1−��=��2+20212��−��=2021−��22��un+1​−un​=2un​un2​+2021​−un​=2un​2021−un2​​

 Với $n\ge 2$ thì ��=��−12+20212��−1un​=2un−1​un−12​+2021​ =��−12+20212��−1=2un−1

a: \(2u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\)

=>\(u_{n+2}-u_{n+1}=-\frac{1}{2}(u_{n+1}-u_{n})\)

Đặt \(d_n = u_{n+1} - u_n\) . Ta sẽ có \(\left(d_{n}\right)\) là cấp số nhân với:

Số hạng đầu là \(d_1 = u_2 - u_1 = 1 - 0 = 1\)

Công bội là q=-1/2

Số hạng tổng quát là:

\(d_n = d_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

Với n=1 thì ta có;

\(VT=1;VP=-\frac12\cdot u_1+1=-\frac12\cdot0+1=1\)

=>VT=VP

=>Đẳng thức \(u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n + 1\) đúng khi n=1

Giả sử đẳng thức \(u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n + 1\) đúng với n=k>1, tức \(u_{k+1} = -\frac{1}{2}u_k + 1\)

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1, hay \(u_{k+2} = -\frac{1}{2}u_{k+1} + 1\)

TA có: \(2u_{k+2} = u_{k+1} + u_k\)

=>\(u_{k+2} = \frac{1}{2}u_{k+1} + \frac{1}{2}u_k\)

=>\(u_{k+2} = \frac{1}{2}u_{k+1} + \frac{1}{2} \cdot \left[-2(u_{k+1} - 1)\right] = \frac{1}{2}u_{k+1} - u_{k+1} + 1 = -\frac{1}{2}u_{k+1} + 1\)

=>ĐPCM

b: \(v_n = u_n - \frac{2}{3}\)

=>\(v_{n+1} = u_{n+1} - \frac{2}{3}\)

mà \(u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n + 1\)

nên \(v_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n + 1 - \frac{2}{3} = -\frac{1}{2}u_n + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}\left(u_n - \frac{2}{3}\right) = -\frac{1}{2}v_n\)

=>\(\left(v_{n}\right)\) là cấp số nhân có:

Số hạng đầu \(v_1=u_1-\frac23=0-\frac23=-\frac23\)

Công bội là q=-1/2

Số hạng tổng quát là:

\(v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = -\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

\(\lim u_n = \lim \left[-\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} + \frac{2}{3}\right] = 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\)

a. 5 số hạng đầu dãy là:

u1 = 2;

u2 = 2u1 – 1 = 3;

u3 = 2u2 – 1 = 5;

u4 = 2u3 – 1 = 9;

u5 = 2u4 – 1 = 17

b. Chứng minh un = 2n – 1 + 1 (1)

+ Với n = 1 ⇒ u1 = 21 - 1 + 1 = 2 (đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là uk = 2k-1 + 1 (1)

Ta chứng minh: uk+1 = 2k + 1. Thật vậy, ta có:

⇒ uk+1 = 2.uk – 1 = 2(2k-1 + 1) – 1 = 2.2k – 1 + 2 – 1 = 2k + 1

⇒ (1) cũng đúng với n = k + 1 .

Vậy un = 2n – 1 + 1 với mọi n ∈ N.