Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: ΔOAC cân tại O
mà OM là đường cao
nên OM là phân giác của góc AOC
Xét ΔOAM và ΔOCM có
OA=OC
\(\hat{AOM}=\hat{COM}\)
OM chung
Do đó: ΔOAM=ΔOCM
=>\(\hat{OAM}=\hat{OCM}\)
=>\(\hat{OCM}=90^0\)
=>MC là tiếp tuyến của (O)
b: Gọi K là giao điểm của BC và AM
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>AC⊥KB tại C
=>ΔACK vuông tại C
Ta có: \(\hat{MAC}+\hat{MKC}=90^0\) (ΔACK vuông tại C)
\(\hat{MCA}+\hat{MCK}=\hat{ACK}=90^0\)
mà \(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)
nên \(\hat{MKC}=\hat{MCK}\)
=>MK=MC
mà MA=MC
nên MA=MK(1)
Ta có: CH⊥AB
KA⊥BA
Do đó: CH//KA
Xét ΔBAM có IH//AM
nên \(\frac{IH}{AM}=\frac{BI}{BM}\left(2\right)\)
Xét ΔBMK có CI//KM
nên \(\frac{CI}{KM}=\frac{BI}{BM}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra IH=IC
a) Chứng minh \(M C\) là tiếp tuyến của đường tròn
Vì \(A M\) là tiếp tuyến tại \(A\), nên \(A M \bot A O\).
Ta có:
Suy ra:
\(\Rightarrow O M / / O C\)
Xét tam giác \(A O C\), vì \(A M\) là tiếp tuyến tại \(A\) nên \(\angle M A C = \angle O C A\).
Mà \(\angle M A C = \angle M C A\)
\(\Rightarrow M C\) tạo với bán kính \(O C\) một góc vuông tại \(C\)
\(\Rightarrow M C\) tiếp xúc với đường tròn tại \(C\).
→ MC là tiếp tuyến của đường tròn
b) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(C\) trên \(A B\); \(I\) là giao điểm của \(M B\) và \(C H\). Chứng minh: \(C I = I H\).
Chứng minh:
Sử dụng hệ thức của tam giác vuông nội tiếp đường tròn:
\(C H^{2} = C I \cdot I H\)
Nhưng vì tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) nên \(C H^{2} = A H \cdot H B\)
Mà theo tính chất đồng dạng của các tam giác \(\Rightarrow C I = I H\).
→ \(C I = I H\).
a) Xét (O) có
ΔBMA nội tiếp đường tròn(B,M,A∈(O))
BA là đường kính(gt)
Do đó: ΔBMA vuông tại M(Định lí)
Xét (O) có
AB là đường kính của (O)(gt)
nên O là trung điểm của AB
Xét ΔBMA có
O là trung điểm của AB(gt)
C là trung điểm của AM(gt)
Do đó: OC là đường trung bình của ΔBMA(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒OC//BM và \(OC=\dfrac{BM}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: OC//BM(cmt)
BM⊥BA(ΔBMA vuông tại M)
Do đó: OC⊥AM(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Xét tứ giác OCNB có
\(\widehat{OCN}\) và \(\widehat{OBN}\) là hai góc đối
\(\widehat{OCN}+\widehat{OBN}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: OCNB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Xét ΔNBA vuông tại B và ΔOCA vuông tại C có
\(\widehat{OAC}\) chung
Do đó: ΔNBA∼ΔOCA(g-g)
⇒\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AN}{AO}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(AC\cdot AN=AO\cdot AB\)(đpcm)
c) Ta có: OC⊥AN(cmt)
mà E∈OC(gt)
nên EC⊥NA
Xét ΔNEA có
EC là đường cao ứng với cạnh NA(cmt)
AB là đường cao ứng với cạnh NE(gt)
EC cắt AB tại O(gt)
Do đó: O là trực tâm của ΔNEA(Định lí ba đường cao của tam giác)
⇒NO⊥AE(đpcm)
a:
Ta có: AD⊥xy
OM⊥ xy
BC⊥xy
Do đó: AD//OM//BC
Xét hình thang ABCD có
O là trung điểm cua AB
OM//AD//BC
Do đó: M là trung điểm cua CD
=>MC=MD
b: Ta có: AD//OM
=>\(\hat{DAM}=\hat{OMA}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{OMA}=\hat{\left.OAM\right.}\) (ΔOAM cân tại O)
nên \(\hat{DAM}=\hat{OAM}\)
=>AM là phân giác của góc OAD
Kẻ MH⊥AB tại H
Ta có: MO//CB
=>\(\hat{CBM}=\hat{OMB}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{OMB}=\hat{OBM}\) (ΔOBM cân tại O)
nên \(\hat{CBM}=\hat{OBM}\)
=>BM là phân giác của góc HBC
Xét ΔADM vuông tại D và ΔAHM vuông tại H có
AM chung
\(\hat{DAM}=\hat{HAM}\)
Do đó: ΔADM=ΔAHM
=>AD=AH
Xét ΔMHB vuông tại H và ΔMCB vuông tại C có
MB chung
\(\hat{HBM}=\hat{CBM}\)
Do đó: ΔMHB=ΔMCB
=>BH=BC
AD+BC
=AH+HB
=AB không đổi
1: AB⊥ AD
BA⊥BE
DO đó: AD//BE
Xét tứ giác ABED có
AD//BE
AB⊥BE
Do đó: ABED là hình thang vuông
2: Sửa đề: OD là đường trung trực của MA
Xét (O) có
DM,DA là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DA
=>D nằm trên đường trung trực của AM(1)
Ta có: OA=OM
=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)
Từ (1),(2) suy ra OD là đường trung trực của AM
a: Xét tứ giác PAOE có \(\hat{PAO}+\hat{PEO}=90^0+90^0=180^0\)
nên PAOE là tứ giác nội tiếp
=>P,A,O,E cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
PA,PE là các tiếp tuyến
Do đó: PA=PE và OP là phân giác của góc AOE
ΔOAE cân tại O
mà OP là phân giác
nên OP⊥AE tại F và F là trung điểm của AE
Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔEAB vuông tại E
=>AE⊥ EB
mà OP⊥AE
nên OP//EB