Tìm a>1 để bất phương trình \(log_a\left(1-6a^{-x}\right)+2x-2\ge0\) nghiệm đúng với mọi x>2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
2 tháng 2 2021
\(x^2-2x+4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}-18+m\ge0\)
\(\Leftrightarrow-\left(-x^2+2x+8\right)+4\sqrt{-x^2+2x+8}\ge10-m\left(1\right)\)
Đặt \(t=\sqrt{-x^2+2x+8}\left(0\le t\le3\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow10-m\le f\left(t\right)=-t^2+4t\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi
\(10-m\le minf\left(t\right)=min\left\{f\left(0\right);f\left(3\right);f\left(2\right)\right\}=f\left(0\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m\ge10\)
Vậy \(m\ge10\)
10 tháng 5 2021
- Với \(m=\pm1\) không thỏa mãn
- Với \(m\ne\pm1\) ta có:
\(\Delta'=16m^2-\left(m^2-1\right)\left(9-m^2\right)=\left(m^2+3\right)^2>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) BPT đã cho đúng với mọi \(x\ge0\) khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\x_1< x_2\le0\end{matrix}\right.\) (pt hệ số a dương đồng thời có 2 nghiệm ko dương)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=m^2-1>0\\x_1+x_2=\dfrac{8m}{m^2-1}< 0\\x_1x_2=\dfrac{9-m^2}{m^2-1}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-3\le m< -1\)
(Nếu \(\Delta\) không luôn dương với mọi m, ví dụ dạng \(\Delta=m^2-3m+2\) chẳng hạn thì còn 1 TH thỏa mãn nữa là \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\))
HP
12 tháng 3 2021
1.
Nếu \(m=0\), \(f\left(x\right)=2x\)
\(\Rightarrow m=0\) không thỏa mãn
Nếu \(x\ne0\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-4m^2< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{3}\)
TA có: \(\log_a (1 - 6a^{-x}) + 2x - 2 \ge 0\)
=>\(\log_a (1 - 6a^{-x}) \ge 2 - 2x\)
=>\(1 - 6a^{-x} \ge a^{2 - 2x}\)
=>\(1 - 6a^{-x} \ge a^2 \cdot (a^{-x})^2\)
=>\(a^2 \cdot (a^{-x})^2 + 6 \cdot a^{-x} - 1 \le 0\) (1)
Đặt \(t=a^{-x}\)
Ta có: x>2 và a>1
=>Hàm số \(t = a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x\) nghịch biến
Khi x->+∞ thì t->0
Khi x=2 thì \(t=a^{-2}\)
Do đó: Khi x>2 thì 0<t<\(a^{-2}\)
(1) sẽ trở thành: \(a^2t^2+6t-1\le0\quad\forall\text{ }t\in(0;a^{-2})\)
Xét hàm số \(f(t) = a^2 t^2 + 6t - 1\)
Để \(f(t)\le0\forall t\in(0;a^{-2})\) thì tập nghiệm của f(t)<=0 phải chửa nửa khoảng (0;a^-2]
\(\Delta' = 3^2 - a^2(-1) = 9 + a^2 > 0\)
=>Nghiệm dương của phương trình f(t)=0 là: \(t_2 = \frac{-3 + \sqrt{9 + a^2}}{a^2} \quad (t_2 > 0)\)
=>\(f(t)\le0\iff t\in[t_1;t_2]\)
Do đó: f(t)<=0 đúng với mọi \(t\in(0;a^{-2})\) khi \(a^{-2}\le t_2\iff f(a^{-2})\le0\)
=>\(a^2\left(a^{-2}\right)^2+6\left(a^{-2}\right)-1\le0\)
=>\(a^2\cdot\frac{1}{a^4}+\frac{6}{a^2}-1\le0\)
=>\(\frac{7}{a^2}\le1\)
=>\(a^2\ge7\)
=>\(a\ge\sqrt7\) (Vì a>1)