Bài 1:

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

=>a=bk; c=dk

\(\frac{5a+4b}{5a-4b}=\frac{5\cdot bk+4b}{5\cdot bk-4b}=\frac{b\left(5k+4\right)}{b\left(5k-4\right)}=\frac{5k+4}{5k-4}\)

\(\frac{5c+4d}{5c-4d}=\frac{5\cdot dk+4d}{5\cdot dk-4d}=\frac{d\left(5k+4\right)}{d\left(5k-4\right)}=\frac{5k+4}{5k-4}\)

Do đó: \(\frac{5a+4b}{5a-4b}=\frac{5c+4d}{5c-4d}\)

Bài 2:

a: Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k\)

=>b=ck; a=bk=ck^2

\(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{\left(ck^2\right)^2+\left(ck\right)^2}{\left(ck\right)^2+c^2}=\frac{c^2k^2\left(k^2+1\right)}{c^2\left(k^2+1\right)}=k^2\)

\(\frac{a}{c}=\frac{ck^2}{c}=k^2\)

Do đó: \(\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

b: Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k\)

=>\(\begin{cases}c=dk\\ b=ck=dk\cdot k=dk^2\\ a=bk=dk^2\cdot k=dk^3\end{cases}\)

\(\left(\frac{a+b-c}{b+c-d}\right)^3=\left(\frac{dk^3+dk^2-dk}{dk^2+dk-d}\right)^3\)

\(=\left\lbrack\frac{dk\left(k^2+k-1\right)}{d\left(k^2+k-1\right)}\right\rbrack^3=k^3\)

\(\frac{a}{d}=\frac{dk^3}{d}=k^3\)

Do đó: \(\left(\frac{a+b-c}{b+c-d}\right)^3=\frac{a}{d}\)

bạn lớp 7 mà học kém quá nhỉ

dễ ot

b,c=1

Giả sử rằng \(r=\frac{p}{q}\) là nghiệm hữu tỉ của phương trình, trong đó \(p,q\) là các số nguyên, nguyên tố cùng nhau (tức phân số \(\frac{p}{q}\) tối giản).

Ta có ngay \(ap^2+bpq+q^2c=0\to4a^2p^2+4abpq+4acq^2=0\to\left(2ap+bq\right)^2=\left(bq\right)^2-4acq^2\)

Nếu q là số chẵn thì \(ap^2\) là số chẵn và do đó p chẵn, mâu thuẫn với tính nguyên tố cùng nhau.

Nếu q là số lẻ thì \(bq,2ap+bq\) là các số lẻ. Mặt khác một số chính phương lẻ luôn chia 8 dư 1 nên ta

suy ra \(\left(2ap+bq\right)^2-\left(bq\right)^2\vdots8.\) Do đó \(4acpq\vdots8\to acpq\vdots2\to p\vdots2\). Từ phương trình đầu suy ra \(cq^2\vdots2\to q\vdots2\), vô lí.

Cách khác:

Đặt \(a=2p+1;b=2q+1;c=2r+1\left(p,q,r\in Z\right)\)

Giả sử phương trình \(ax^2+bx+c=0\) không có nghiệm hữu tỉ thì \(\Delta=b^2-4ac\) phải là số chính phương

Ta có:\(\Delta=\left(2q+1\right)^2-4\left(2r+1\right)\left(2p+1\right)\)

\(=4q^2+4q+1-\left(8r-4\right)\left(2p+1\right)\)

\(=4q^2+4q+1-\left(16pr+8r-8p-4\right)\)

\(=4q^2+4q-16pr+8r-8p+5\)

\(=8\left[\frac{q\left(q+1\right)}{2}-2pr+r-p\right]+5\equiv5\left(mod8\right)\)

vô lý vì số chính phương lẻ không thể chia 8 dư 5

=> đpcm