Câu 4:

a: Xét tứ giác MNOP có \(\hat{MNO}+\hat{MPO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MNOP là tứ giác nội tiếp

=>M,N,O,P cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

MN,MP là các tiếp tuyến

Do đó: OM là phân giác của góc NOP

ΔONP cân tại O

mà OM là đường phân giác

nên OM⊥NP tại I và I là trung điểm của NP

c: Xét ΔONM vuông tại N có NI là đường cao

nên \(OI\cdot OM=ON^2=ON\cdot OQ\)

Câu 3:

a: ĐKXĐ: a>=0; a<>1

\(M=\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\)

\(=\left(1+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right)\)

\(=\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)=1-a\)

b: M=3

=>1-a=3

=>a=1-3=-2(loại)

Lời giải:

a) 

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có $CM=CA$. Mà $CM\perp MO, CA\perp OA$ nên $C$ cách đều 2 cạnh $OM, OA$. Do đó $OC$ là phân giác $\widehat{MOA}$

$\Rightarrow \widehat{COM}=\frac{1}{2}\widehat{AOM}$

Tương tự:

$\widehat{DOM}=\frac{1}{2}\widehat{DOM}$

$\Rightarrow \widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=90^0$

$\Rightarrow \triangle COD$ vuông tại $O$

b) 

$AC.BD=CM.DM(1)$

Tam giác $COD$ vuông tại $O$ có $OM\perp CD$ nên theo hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$CM.DM=OM^2=R^2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow AC.BD=R^2$

c) Gọi $I$ là giao $BC$ và $MH$

$K$ là giao $BM$ và $Ax$

Ta có:

Vì $KC\parallel DB$ nên $\widehat{CKM}=\widehat{DBM}$ (so le trong)

$\widehat{DBM}=\widehat{DMB}=\widehat{KMC}$ (do $DM=DB$ nên tam giác $DMB$ cân tại D)

Do đó: $\widehat{CKM}=\widehat{KMC}$ nên tam giác $CKM$ cân tại $C$

$\Rightarrow CK=CM$. Mà $CM=CA$ nên $CK=CA$

Mặt khác:

$MH\parallel Ax$ (cùng vuông góc $AB$) nên theo định lý Talet:

$\frac{MI}{KC}=\frac{BI}{BC}=\frac{IH}{CA}$ 

Vừa cm được $KC=CA$ nên $MI=IH$ hay $I$ là trung điểm $MH$

Ta có đpcm. 

Hình vẽ:

a; Ta có: ON+NM=OM

O'M+MN=O'N

mà OM=O'N(=R)

nên ON=O'M

cho mk cả lời giải của các phần trên đc ko mèo con dễ thương

mk cần gấp

a: Xét ΔAOM vuông tại A có tan AOM=AM/OA=căn 3

nên góc AOM=60 độ

=>sđ cung nhỏ AI=60 độ

=>sđ cung lớn AI=300 độ

b: Xét (O) có

MA,MC là tiếp tuyến

nên MA=MC và OM là phân giác của góc COA(1)

Xét (O) có

NC,NB là tiếp tuyến

nên NC=NB và ON là phân giác của góc COB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc MON=1/2*180=90 độ

Xét ΔMON vuông tại O có OC là đường cao

nên MC*CN=OC^2

=>AM*BN=R^2

c: góc IAC=90 độ-góc OIA

góc MAI=90 độ-góc OAI

mà góc OIA=góc OAI

nên góc IAC=góc IAM

=>AI là phân giác của góc MAC

mà MI là phân giác của góc AMC

nên I là tâm đường tròn nội tiếp ΔMAC