`\triangle ABC` đều nội tiếp `(O;R)`

`=>R=2/3` đường cao `\triangle ABC`

Mà đường cao `\triangle ABC=[\sqrt{3}a]/2`

  `=>R=2/3 .[\sqrt{3}a]/2=[\sqrt{3}a]/3`

  `->\bb C`

Chọn C

A

Tự vẽ hình nhé!

\(AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

Ta có: \(\Delta OAC=\Delta OAB\left(c-c-c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

Xét \(\Delta ACI,\Delta ABI\) có:

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\)

\(AB=AC\left(gt\right)\)

AI cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ACI=\Delta ABI\left(c-g-c\right)\) \(\Rightarrow IC=IB\)

\(\Rightarrow AI\) là trung tuyến của \(\Delta ABC\)

Mặt khác: OI cũng là trung tuyến \(\Delta ABC\) ( do xét trong \(\Delta OCB\))

\(\Rightarrow A,O,I\) thẳng hàng

Mà: \(AI\perp BC\) ( vì \(\Delta ABC\) có AI trung tuyến)

\(\Rightarrow OA\perp BC\)

Cách khác:

Ta có: OB=OC(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: AB=AC(gt)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

hay OA\(\perp\)BC(Đpcm)

Đặt BC=a

ΔABC đều

=>AB=BC=AC=a

Ta có: DC+DB=BC

=>2DB+BD=BC

=>BC=3BD

=>\(DB=\frac{BC}{3}=\frac{a}{3}\)

=>\(DC=2\cdot DB=\frac{2a}{3}\)

Xét ΔCDA có \(cosC=\frac{CA^2+CD^2-AD^2}{2\cdot CA\cdot CD}\)

=>\(\frac{a^2+\left(\frac{2a}{3}\right)^2-AD^2}{2\cdot a\cdot\frac23a}=cos60=\frac12\)

=>\(a^2+\frac49a^2-AD^2=\frac12\cdot\frac43a^2=\frac23a^2\)

=>\(AD^2=\frac{13}{9}a^2-\frac23a^2=\frac{13}{9}a^2-\frac69a^2=\frac79a^2\)

=>\(AD=\frac{a\sqrt7}{3}\)

Nửa chu vi của tam giác CDA là:

\(p=\frac12\left(AC+CD+AD\right)=\frac12\left(a+\frac{2a}{3}+\frac{a\sqrt7}{3}\right)=\frac12\cdot\frac{5a+a\sqrt7}{3}=\frac{5a+a\sqrt7}{6}\)

Diện tích tam giác CDA là:

\(S_{CDA}=\frac12\cdot CA\cdot CD\cdot\sin C=\frac12\cdot a\cdot\frac23a\cdot\sin60\)

\(=\frac13a^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{6}\)

Bán kính đường tròn nội tiếp ΔCDA là:

\(r=\frac{S_{CDA}}{p_{DAC}}=\frac{a^2\sqrt3}{6}:\frac{5a+a\sqrt7}{6}=\frac{a^2\sqrt3}{5a+a\sqrt7}=\frac{a\sqrt3}{5+\sqrt7}\)

Xét ΔCDA có \(\frac{AD}{\sin C}=2R\)

=>\(2R=\frac{a\sqrt7}{3}:\sin60=\frac{a\sqrt7}{3}:\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt7}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2a\sqrt7}{3\sqrt3}\)

=>\(R=\frac{a\sqrt7}{3\sqrt3}\)

\(\frac{R}{r}=\frac{a\sqrt7}{3\sqrt3}:\frac{a\sqrt3}{5+\sqrt7}=\frac{\sqrt7\left(5+\sqrt7\right)}{3\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{5\sqrt7+7}{9}\)