`\triangle ABC` đều nội tiếp `(O;R)`

`=>R=2/3` đường cao `\triangle ABC`

Mà đường cao `\triangle ABC=[\sqrt{3}a]/2`

  `=>R=2/3 .[\sqrt{3}a]/2=[\sqrt{3}a]/3`

  `->\bb C`

Chọn C

Xét (O) có

\(\hat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

=>\(\hat{AOB}=2\cdot\hat{ACB}\)

=>\(\hat{AOB}=2\cdot\hat{MAB}\)

ΔOAB cân tại O

=>\(\hat{OAB}=\frac{180^0-\hat{AOB}}{2}=\frac{180^0-2\cdot\hat{MAB}}{2}=90^0-\hat{MAB}\)

=>\(\hat{OAB}+\hat{MAB}=90^0\)

=>\(\hat{OAM}=90^0\)

=>AM⊥ AO tại A

=>AM là tiếp tuyến tại A của (O)

A

ΔCAB vuông tại C

=>ΔCAB nội tiếp đường tròn đường kính AB

=>O là trung điểm của AB

I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

=>BI là phân giác của góc ABC; AI là phân giác của góc CAB

ΔBOI vuông tại O

=>\(\hat{BOI}=90^0\)

Xét ΔIBA có

IO là đường cao

IO là đường trung tuyến

Do đó: ΔIBA cân tại I

=>\(\hat{IBA}=\hat{IAB}\)

=>\(2\cdot\hat{IBA}=2\cdot\hat{IAB}\)

=>\(\hat{CBA}=\hat{CAB}\)

=>ΔCAB vuông cân tại C

=>CA=CB

ΔCAB vuông tại C

=>\(CA^2+CB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=CB^2+CB^2=2CB^2\)

=>\(AB=BC\sqrt2\)

\(CA:CB:AB=CB:CB:CB\sqrt2=1:1:\sqrt2\)

Tự vẽ hình nhé!

\(AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

Ta có: \(\Delta OAC=\Delta OAB\left(c-c-c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

Xét \(\Delta ACI,\Delta ABI\) có:

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\)

\(AB=AC\left(gt\right)\)

AI cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ACI=\Delta ABI\left(c-g-c\right)\) \(\Rightarrow IC=IB\)

\(\Rightarrow AI\) là trung tuyến của \(\Delta ABC\)

Mặt khác: OI cũng là trung tuyến \(\Delta ABC\) ( do xét trong \(\Delta OCB\))

\(\Rightarrow A,O,I\) thẳng hàng

Mà: \(AI\perp BC\) ( vì \(\Delta ABC\) có AI trung tuyến)

\(\Rightarrow OA\perp BC\)

Cách khác:

Ta có: OB=OC(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: AB=AC(gt)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

hay OA\(\perp\)BC(Đpcm)

Đặt BC=a

ΔABC đều

=>AB=BC=AC=a

Ta có: DC+DB=BC

=>2DB+BD=BC

=>BC=3BD

=>\(DB=\frac{BC}{3}=\frac{a}{3}\)

=>\(DC=2\cdot DB=\frac{2a}{3}\)

Xét ΔCDA có \(cosC=\frac{CA^2+CD^2-AD^2}{2\cdot CA\cdot CD}\)

=>\(\frac{a^2+\left(\frac{2a}{3}\right)^2-AD^2}{2\cdot a\cdot\frac23a}=cos60=\frac12\)

=>\(a^2+\frac49a^2-AD^2=\frac12\cdot\frac43a^2=\frac23a^2\)

=>\(AD^2=\frac{13}{9}a^2-\frac23a^2=\frac{13}{9}a^2-\frac69a^2=\frac79a^2\)

=>\(AD=\frac{a\sqrt7}{3}\)

Nửa chu vi của tam giác CDA là:

\(p=\frac12\left(AC+CD+AD\right)=\frac12\left(a+\frac{2a}{3}+\frac{a\sqrt7}{3}\right)=\frac12\cdot\frac{5a+a\sqrt7}{3}=\frac{5a+a\sqrt7}{6}\)

Diện tích tam giác CDA là:

\(S_{CDA}=\frac12\cdot CA\cdot CD\cdot\sin C=\frac12\cdot a\cdot\frac23a\cdot\sin60\)

\(=\frac13a^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{6}\)

Bán kính đường tròn nội tiếp ΔCDA là:

\(r=\frac{S_{CDA}}{p_{DAC}}=\frac{a^2\sqrt3}{6}:\frac{5a+a\sqrt7}{6}=\frac{a^2\sqrt3}{5a+a\sqrt7}=\frac{a\sqrt3}{5+\sqrt7}\)

Xét ΔCDA có \(\frac{AD}{\sin C}=2R\)

=>\(2R=\frac{a\sqrt7}{3}:\sin60=\frac{a\sqrt7}{3}:\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt7}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2a\sqrt7}{3\sqrt3}\)

=>\(R=\frac{a\sqrt7}{3\sqrt3}\)

\(\frac{R}{r}=\frac{a\sqrt7}{3\sqrt3}:\frac{a\sqrt3}{5+\sqrt7}=\frac{\sqrt7\left(5+\sqrt7\right)}{3\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{5\sqrt7+7}{9}\)