Đặt a/2018 = b/2019 = c/2020 

=> a = 2018k ; b = 2019k ; c = 2020k

Khi đó, ta có :

(2018k - 2020k)² = 4k² (1)

4.(2018k - 2019k)(2019k - 2020k) = 4.(-k).(-k) = 4k² (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Mình làm cách lớp 7 kiểu khác nhé:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau : 

\(\frac{a}{2018}=\frac{b}{2019}=\frac{c}{2020}=\frac{a-c}{2018-2020}=\frac{a-b}{2018-2019}=\frac{b-c}{2019-2020}\)

\(\Rightarrow\frac{a-c}{-2}=\frac{a-b}{-1}=\frac{b-c}{-1}\Leftrightarrow a-c=2\left(a-b\right)=2\left(b-c\right)\&a-b=b-c\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2=2\left(a-b\right).2\left(b-c\right)=4\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(đpcm\right).\)

Đặt \(\frac{a}{2018}=\frac{b}{2019}=\frac{c}{2020}=k\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2018k\\b=2019k\\c=2020k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a-c\right)^3=\left(2018k-2020k\right)^3=\left(-2k\right)^3=-8k^3\) (1)

\(8\left(a-b\right)^2.\left(b-c\right)=8\left(2018k-2019k\right)^2.\left(2019k-2020k\right)=8k^2\left(-k\right)=8\left(-k\right)^3=-8k^3\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ⇒ \(\left(a-c\right)^3=8\left(a-b\right)^2.\left(b-c\right)\left(đpcm\right)\)

mn giúp mk vs

chiều mk nộp rùi

Đặt \(\frac{a}{2018}=\frac{b}{2019}=\frac{c}{2020}=k\)

=>a=2018k; b=2019k; c=2020k

\(\left(a-c\right)^3=\left(2018k-2020k\right)^3=\left(-2k\right)^3=-8k^3\)

\(8\left(a-b\right)^2\cdot\left(b-c\right)\)

\(=8\left(2018k-2019k\right)^2\cdot\left(2019k-2020k\right)\)

\(=8\left(-k\right)^2\cdot\left(-k\right)=-8k^3\)

Do đó: \(\left(a-c\right)^3=8\left(a-b\right)^2\cdot\left(b-c\right)\)

Ta có: \(\frac{a}{2018}=\frac{b}{2019}=\frac{c}{2020}.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{a}{2018}=\frac{b}{2019}=\frac{c}{2020}=\frac{a-b}{2018-2019}=\frac{b-c}{2019-2020}=\frac{a-c}{2018-2020}.\)

a) Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\frac{ab+ac}{b\left(b+c\right)}\)

                 \(\frac{a+c}{b+c}=\frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\frac{ab+bc}{b\left(b+c\right)}\)

Vì 0<a<b nên ab+ac<ab+bc

\(\Rightarrow\frac{ab+ac}{b\left(b+c\right)}>\frac{ab+bc}{b\left(b+c\right)}\)

hay \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)

Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)

Ta có :

\(\frac{a+b-b-c}{2018-2019}=\frac{a-c}{-1}\)

\(\frac{b+c-c-a}{2019-2020}=\frac{b-a}{-1}\)

\(\frac{b-c}{2018-2020}=\frac{b-c}{-2}\)     

Đặt \(\frac{a-c}{-1}=\frac{b-a}{-1}=\frac{b-c}{-2}=k\left(k\ne0\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a-c}{-1}=k\\\frac{b-a}{-1}=k\\\frac{b-c}{-2}=k\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-c=-k\\b-a=-k\\b-c=k.\left(-2\right)\end{cases}}}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Đề bài có bị sai không bạn? Đặng Quốc Huy

Ko đề đúng đấy màVũ Minh Tuấn

1.

Giả sử $a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\vdots 6.$

Ta cần chứng minh $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\vdots 6.$

Ta có $a^{2018}-a^{2016}=a^{2016}(a^2-1)=a^{2016}(a-1)(a+1).$

Trong ba số nguyên liên tiếp $a-1,\ a,\ a+1$ luôn có một số chia hết cho $3$ và có ít nhất một số chẵn.

Do đó $a(a-1)(a+1)\vdots6.$

Suy ra $a^{2016}(a^2-1)=a^{2015}\cdot a(a-1)(a+1)\vdots6,$ hay $a^{2018}\equiv a^{2016}\pmod6.$

Tương tự, $b^{2019}-b^{2017}=b^{2017}(b^2-1)=b^{2016}\cdot b(b-1)(b+1)\vdots6,$ nên $b^{2019}\equiv b^{2017}\pmod6.$

Lại có $c^{2020}-c^{2018}=c^{2018}(c^2-1)=c^{2017}\cdot c(c-1)(c+1)\vdots6,$

=nên $c^{2020}\equiv c^{2018}\pmod6.$

Cộng ba đồng dư trên,

$a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\equiva^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\pmod6.$

Theo giả thiết, $a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\equiv0\pmod6.$

Suy ra $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\equiv0\pmod6.$

Vậy $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}$ chia hết cho $6.$

2.

$\displaystyleM=\frac{a^2+4a+1}{a^2+a}+\frac{b^2+4b+1}{b^2+b}+\frac{c^2+4c+1}{c^2+c}.$

Ta có $\displaystyle\frac{x^2+4x+1}{x^2+x}=\frac{x^2+x+3x+1}{x(x+1)}=1+\frac{3x+1}{x(x+1)}.$

Lại có $\displaystyle\frac{3x+1}{x(x+1)}=\frac1x+\frac2{x+1}.`$

Do đó $\displaystyle\frac{x^2+4x+1}{x^2+x}=1+\frac1x+\frac2{x+1}.$

Suy ra $\displaystyleM=3+\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)+2\left(\frac1{a+1}+\frac1{b+1}+\frac1{c+1}\right).$

Theo bất đẳng thức Cauchy,

$\displaystyle(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge(1+1+1)^2=9.$

Vì $a+b+c\le3,$ nên $\displaystyle\frac1a+\frac1b+\frac1c\ge\frac9{a+b+c}\ge3.$

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy,

$\displaystyle(a+b+c+3)\left(\frac1{a+1}+\frac1{b+1}+\frac1{c+1}\right)\ge9.$

Do $a+b+c+3\le6,$ suy ra $\displaystyle\frac1{a+1}+\frac1{b+1}+\frac1{c+1}\ge\frac96=\frac32.$

Vậy $\displaystyleM\ge3+3+2\cdot\frac32=9.$

Dấu ``='' xảy ra khi $a=b=c=1,$ vì khi đó $a+b+c=3$ và các bất đẳng thức Cauchy đều đạt dấu bằng.

Vậy $M_{\min}=9.$

Lời giải:

Đặt \(\frac{a}{2016}=\frac{b}{2018}=\frac{c}{2020}=t\Rightarrow a=2016t; b=2018t; c=2020t\)

Khi đó:

\(\frac{(a-c)^2}{4}=\frac{(2016t-2020t)^2}{4}=\frac{16t^2}{4}=4t^2(1)\)

\((a-b)(b-c)=(2016t-2018t)(2018t-2020t)=(-2t)(-2t)=4t^2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{(a-c)^2}{4}=(a-b)(b-c)\) (đpcm)

Đặng Quốc Huy:

\(\frac{(2016t-2020t)^2}{4}=\frac{(-4t)^2}{4}=\frac{(-4)^2.t^2}{4}=\frac{16t^2}{4}=4t^2\)