Đặt \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}=k\Rightarrow x=3k,y=5k\)

Ta có:

\(xy=60\\ \Rightarrow3k.5k=60\\ \Rightarrow15k^2=60\\ \Rightarrow k^2=4\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k=2\\k=-2\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6,y=10\\x=-6,y=-10\end{matrix}\right.\)

Với \(x=6,y=10\)

\(\left|x+2y\right|=\left|6+2.10\right|=\left|26\right|=26\)

Với \(x=-6,y=-10\)

\(\left|x+2y\right|=\left|\left(-6\right)+2.\left(-10\right)\right|=\left|-26\right|=26\)

Đặt \(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{7}=k\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x=4k\\y=7k\end{matrix}\right.\)

\(xy=28k^2=112\)

⇒ \(k^2=4\)

⇒ \(\left[{}\begin{matrix}k=2\\k=-2\end{matrix}\right.\)

Còn lại bạn làm tiếp nha

Bài 1: 

Ta có: \(3x=2y\)

nên \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\)

mà x+y=-15

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{x+y}{2+3}=\dfrac{-15}{5}=-3\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2}=-3\\\dfrac{y}{3}=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-6\\y=-9\end{matrix}\right.\)

Vậy: (x,y)=(-6;-9)

Bài 2: 

a) Ta có: \(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}\)

mà x+y-z=20

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{x+y-z}{4+3-5}=\dfrac{20}{2}=10\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{4}=10\\\dfrac{y}{3}=10\\\dfrac{z}{5}=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=40\\y=30\\z=50\end{matrix}\right.\)

Vậy: (x,y,z)=(40;30;50)

a. Tính giá trị biểu thức $A = \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$:

Từ giả thiết: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$

Quy đồng mẫu thức:

$\Rightarrow \frac{yz + xz + xy}{xyz} = 0$

$\Rightarrow xy + yz + zx = 0$

Khai triển tử thức của $A$:

$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz$

Thay $xy + yz + zx = 0$ vào biểu thức trên:

$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z) \cdot 0 - xyz = -xyz$

Do đó: $A = \frac{-xyz}{xyz} = -1$

Vậy $A = -1$.

b. Chứng minh $A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2}$ là bình phương của một số hữu tỉ:

Đặt $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$.

Ta có: $x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$.

Xét đẳng thức:

$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2\left(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}\right)$

Biến đổi phần trong ngoặc kép:

$\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = \frac{z + x + y}{xyz}$

Vì $x + y + z = 0$ nên $\frac{z + x + y}{xyz} = 0$.

Suy ra:

$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}$

Thay lại $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$:

$A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2} = \left(\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}\right)^2$

Vì $a, b, c$ là các số hữu tỉ khác nhau từng đôi một nên $\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}$ là một số hữu tỉ.

Vậy $A$ là bình phương của một số hữu tỉ (điều phải chứng minh).

Đề bài sai, đề đúng thì phân thức đằng sau dấu chia phải là:

\(\dfrac{4x^4+4x^2y+y^2-4}{x^2+y+xy+x}\)

\(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)=9\Rightarrow xy+yz+zx\ge3\)

\(2\left(x^2+y^2\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

Tương tự và nhân vế với vế:

\(VT\ge\dfrac{27}{64}\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\)

Mặt khác ta có:

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)

\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{xy.yz.zx}\)

\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge\dfrac{8}{9}\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}.\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{27}{64}.\dfrac{64}{81}.3\left(xy+yz+zx\right)^3\ge3^3=27\) (đpcm)

em cảm ơn

Xét \(x+y+z=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z=-x\\z+x=-y\\x+y=-z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\left(2-1\right)\left(2-1\right)\left(2-1\right)=1\)

Xét \(x+y+z\ne0\) thì ta có:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=y+z+3x\\5y=z+x+3y\\5z=x+y+3z\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=y+z\\2y=z+x\\2z=x+y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\left(2+2\right)\left(2+2\right)\left(2+2\right)=64\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}A=1\\A=64\end{matrix}\right.\)

Nếu bị lỗi thì bạn có thể xem đây nhé: