y=mx+2

=>mx-y+2=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot m+0\cdot\left(-1\right)+2\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{m^2+1}}\le\frac21=2\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m=0

Bạn viết sai rồi, đường thẳng y-mx+2 =0 hay y=mx+2 vậy bạn?

hjhj , thank bạn nha , nhưng câu này mk hỏi năm 2016 , giờ mình học lớp 12 rồi !!!

Lời giải:

ĐK: $3m+1\neq 0$

Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $(d)$ với $Ox,Oy$

Vì $A\in Ox$ nên $y_A=0$

$y_A=(3m+1)x_A-6m-1=0$

$\Rightarrow x_A=\frac{6m+1}{3m+1}$

Vậy $A(\frac{6m+1}{3m+1},0)$

Tương tự: $B(0, -6m-1)$

Gọi $h$ là khoảng cách từ $O$ đến $(d)$

Khi đó, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}$

$=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}$

$=\frac{(3m+1)^2}{(6m+1)^2}+\frac{1}{(6m+1)^2}$
$=\frac{(3m+1)^2+1}{(6m+1)^2}$

Để $h$ max thì $\frac{1}{h^2}$ min 

Hay $\frac{(3m+1)^2+1}{(6m+1)^2}$ min

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$[(3m+1)^2+1][2^2+(-1)^2]\geq [2(3m+1)+(-1)]^2=(6m+1)^2$
$\Rightarrow 5[(3m+1)^2+1]\geq (6m+1)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{h^2}\geq \frac{1}{5}$

Giá trị này đạt tại $\frac{3m+1}{2}=\frac{1}{-1}$

$\Leftrightarrow m=-1$

rưefdrgrtyh

(d): y=(m-1)x+2

=>(m-1)x-y+2=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot\left(m-1\right)+0\cdot\left(-1\right)+2\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{2}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}\le\frac21=2\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left(m-1\right)^2+1=1\)

=>\(\left(m-1\right)^2=0\)

=>m-1=0

=>m=1