Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Với $n$ lẻ bất kỳ:
$u_n<0; u_{n+1>0; u_{n+2}< 0$
$\Rightarrow u_n< u_{n+1}> u_{n+2}$ với mọi $n$ lẻ bất kỳ
Do đó dãy không tăng cũng không giảm.
+ Xét tính tăng giảm.
Với mọi n ∈ N ta có:
⇒ un + 1 < un với mọi n ∈ N.
⇒ (un) là dãy số giảm.
+ Xét tính bị chặn.
un > 0 với mọi n.
⇒ (un) bị chặn dưới.
un ≤ u1 = √2 - 1 với mọi n
⇒ (un) bị chặn trên.
⇒ (un) bị chặn.
a: \(u_1=\frac{\left(-1\right)^1}{1+2}=-\frac13;u_2=\frac{\left(-1\right)^2}{2+2}=\frac14;u_3=\frac{\left(-1\right)^3}{3+2}=-\frac15\)
Vì \(u_1u_3\)
nên đây là dãy không tăng, không giảm
b: \(u_{n}=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\)
\(=\frac{n+3-n}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\)
\(u_{n+1}=\frac{3}{\sqrt{n+1+3}+\sqrt{n+1}}=\frac{3}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+1}}\)
Vì \(\sqrt{n+4}+\sqrt{n+1}>\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\)
nên \(\frac{3}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+1}}<\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\)
=>\(u_{n+1}
=>Đây là dãy số giảm
a: \(u_1=\frac{\left(-1\right)^1}{1+2}=-\frac13;u_2=\frac{\left(-1\right)^2}{2+2}=\frac14;u_3=\frac{\left(-1\right)^3}{3+2}=-\frac15\)
Vì \(u_1u_3\)
nên đây là dãy không tăng, không giảm
b: \(u_{n}=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\)
\(=\frac{n+3-n}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\)
\(u_{n+1}=\frac{3}{\sqrt{n+1+3}+\sqrt{n+1}}=\frac{3}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+1}}\)
Vì \(\sqrt{n+4}+\sqrt{n+1}>\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\)
nên \(\frac{3}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+1}}<\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\)
=>\(u_{n+1}
=>Đây là dãy số giảm
Lời giải:
Có:
\(u_{n+1}-u_n=\sqrt{n+4}-\sqrt{n+1}-(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})\)
\(=(\sqrt{n+4}-\sqrt{n+3})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+3}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<0\) với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow u_{n+1}< u_n$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
Do đó dãy đã cho là dãy giảm.
Lời giải:
Thấy rằng $u_n>0$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{n+12}}{n+1}: \frac{\sqrt{n+11}}{n}=\frac{\sqrt{n^2(n+12)}}{\sqrt{(n+1)^2(n+11)}}=\sqrt{\frac{n^3+12n^2}{n^3+13n^2+23n+11}}<1\) với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow u_{n+1}< u_n$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow (u_n)$ là dãy giảm.
\(u_n=\dfrac{n+2}{n}\)
\(u_{n+1}=\dfrac{n+3}{n+1}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{n+3}{n+1}-\dfrac{n+2}{n}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{n\left(n+3\right)-\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{n^2+3n-\left(n^2+3n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{n^2+3n-n^2-3n-2}{n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{-2}{n\left(n+1\right)}< 0\)
Vậy dãy số \(u_n\) đã cho là dãy giảm
b: \(u_{n}=\frac{4^{n}-1}{4^{n}+5}\)
\(=\frac{4^{n}+5-6}{4^{n}+5}=1-\frac{6}{4^{n}+5}\)
TA có; n<n+1
=>\(4^{n}<4^{n+1}\)
=>\(4^{n}+5<4^{n+1}+5\)
=>\(\frac{6}{4^{n}+5}>\frac{6}{4^{n+1}+5}\)
=>\(-\frac{6}{4^{n}+5}<-\frac{6}{4^{n+1}+5}\)
=>\(-\frac{6}{4^{n}+5}+1<-\frac{6}{4^{n+1}+5}+1\)
=>\(u_{n}
=>Đây là dãy số tăng
b: \(u_{n}=\frac{4^{n}-1}{4^{n}+5}\)
\(=\frac{4^{n}+5-6}{4^{n}+5}=1-\frac{6}{4^{n}+5}\)
TA có; n<n+1
=>\(4^{n}<4^{n+1}\)
=>\(4^{n}+5<4^{n+1}+5\)
=>\(\frac{6}{4^{n}+5}>\frac{6}{4^{n+1}+5}\)
=>\(-\frac{6}{4^{n}+5}<-\frac{6}{4^{n+1}+5}\)
=>\(-\frac{6}{4^{n}+5}+1<-\frac{6}{4^{n+1}+5}+1\)
=>\(u_{n}
=>Đây là dãy số tăng
Với mọi n ∈ N ta có:
⇒ (un) là dãy số giảm.