Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. ; AB = a, AC= .Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC = 2a$ nên:
$AB = AC = \dfrac{BC}{\sqrt2} = a\sqrt2$.
Diện tích đáy:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot a\sqrt2 \cdot a\sqrt2 = a^2$.
Mặt bên $SBC$ là tam giác vuông cân tại $S$ nên:
$SB = SC$ và $BC = SB\sqrt2 \Rightarrow SB = SC = \dfrac{BC}{\sqrt2} = a\sqrt2$.
Gọi $H$ là trung điểm $BC$ thì:
$SH \perp BC$ và $SH = \dfrac{BC}{2} = a$.
Vì $(SBC)\perp(ABC)$ nên $SH \perp (ABC)$, do đó $SH$ là chiều cao của khối chóp.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot a^2 \cdot a= \dfrac{a^3}{3}$.
Vậy $V = \dfrac{a^3}{3}$.
Chọn đáp án D.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ với $AB = AC = a$ nên: $BC = a\sqrt2$.
Tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm của $BC$:
$OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.
Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:
$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.
Trong tam giác đều $SAB$: $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.
Mặt khác:
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt2}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}= \sqrt{\dfrac{a^2}{2} - \dfrac{a^2}{4}}= \dfrac{a}{2}$.
=> $SO^2 = SM^2 + OM^2= \dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4}= a^2 \Rightarrow SO = a$.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:
$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a}{2}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3= \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3= \dfrac{\pi a^3}{6}$.
Vậy $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$.
Chọn đáp án A.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:
$AB = BC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}a^2$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp.
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $60^\circ$ nên:
$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$.
Trong tam giác vuông cân $ABC$:
$AC = a\sqrt2$.
Suy ra:
$\sqrt3 = \dfrac{SA}{a\sqrt2} \Rightarrow SA = a\sqrt6$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$
$= \dfrac13 \cdot \dfrac{1}{2}a^2 \cdot a\sqrt6$
$= \dfrac{a^3\sqrt6}{6}
= \dfrac{a^3\sqrt3}{6}\cdot \sqrt2$.
Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt6}{6}$.
Chọn đáp án B.
Đáp án là D

Gọi H là trung điểm của BC, ta có: AH ⊥ BC
Do SA
⊥
(ABC) ![]()
Ta có: ![]()
Xét tam giác vuông SAH:
![]()
![]()








Chọn D